Considere a equação raiz4-|x+1|=x+3. Faça o que se pede:
Resolva a equação.

Passo 1

Beleza, vamos resolver a equação raiz4 - |x + 1| = x + 3. Esse exercício envolve conceitos de álgebra, especificamente trabalhando com raízes quadradas e valores absolutos. Para resolver, vamos precisar entender como lidar com equações que contêm ambas as operações e garantir que todas as soluções atendam às condições impostas pela equação.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar a equação raiz4 - |x + 1| = x + 3. Para resolver essa equação, precisamos levar em conta que a expressão dentro da raiz quadrada deve ser não negativa, ou seja, 4 - |x + 1| >= 0. Além disso, como uma raiz quadrada sempre retorna um valor não negativo, o lado direito da equação, x + 3, também deve ser não negativo. Vamos começar verificando essas condições.

Passo 3

Vamos estabelecer as restrições da equação:
  1. Dominio da raiz quadrada:
4 - |x + 1| >= 0
Resolvendo:
|x + 1| <= 4
Isso significa que:
-4 <= x + 1 <= 4 implies -5 <= x <= 3
  1. Condição do lado direito:
x + 3 >= 0 implies x >= -3
Então, as soluções potenciais devem satisfazer ambas as condições: -3 <= x <= 3.

Passo 4

Agora, vamos resolver a equação raiz4 - |x + 1| = x + 3. Para eliminar a raiz quadrada, vamos elevar ambos os lados da equação ao quadrado:
(raiz4 - |x + 1|)^2 = (x + 3)^2
Isso simplifica para:
4 - |x + 1| = x^2 + 6x + 9

Passo 5

Vamos reorganizar a equação para trazer todos os termos para um lado:
x^2 + 6x + 9 + |x + 1| - 4 = 0
Simplificando:
x^2 + 6x + 5 + |x + 1| = 0
Agora, temos uma equação quadrática com um valor absoluto. Para resolver isso, precisamos considerar os diferentes casos que o valor absoluto pode apresentar.

Passo 6

O valor absoluto |x + 1| pode ser escrito como:
  • x + 1 se x + 1 >= 0 (ou seja, x >= -1)
  • -(x + 1) se x + 1 < 0 (ou seja, x < -1)
Vamos resolver a equação em ambos os casos dentro do intervalo -3 <= x <= 3.

Passo 7

Caso 1: x >= -1
Aqui, |x + 1| = x + 1. Substituindo na equação:
x^2 + 6x + 5 + (x + 1) = 0
Simplificando:
x^2 + 7x + 6 = 0
Essa é uma equação quadrática que podemos resolver fatorando:
(x + 1)(x + 6) = 0
Portanto, as soluções são x = -1 e x = -6. Mas lembrando que estamos no caso x >= -1, apenas x = -1 está dentro desse intervalo.
Verificação da solução x = -1:
Voltando à equação original:
raiz4 - |-1 + 1| = -1 + 3
Simplificando:
raiz4 - 0 = 2 implies 2 = 2
Portanto, x = -1 é uma solução válida.

Passo 8

Caso 2: x < -1
Aqui, |x + 1| = -(x + 1). Substituindo na equação:
x^2 + 6x + 5 + (-(x + 1)) = 0
Simplificando:
x^2 + 6x + 5 - x - 1 = 0 implies x^2 + 5x + 4 = 0
Novamente, resolvemos a equação quadrática fatorando:
(x + 1)(x + 4) = 0
As soluções são x = -1 e x = -4. Dentro deste caso, x < -1, então apenas x = -4 é uma possível solução.
Verificação da solução x = -4:
Voltando à equação original:
raiz4 - |-4 + 1| = -4 + 3
Simplificando:
raiz4 - 3 = -1 implies raiz1 = -1 implies 1 = -1
Isso não é verdadeiro, então x = -4 não é uma solução válida.

Resposta

A única solução da equação é x = -1.

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