Sabendo que tg^2(x+pi6)=12 e que x in[0, pi2] determine o valor de sen x.

Passo 1

Vamos resolver um problema de trigonometria onde precisamos encontrar o valor de sin x. Sabemos que tan^2(x + dfracpi6) = dfrac12 e que x está no intervalo [0, dfracpi2]. Para resolver isso, vamos usar identidades trigonométricas relacionadas às funções tangente e seno.

Passo 2

Primeiro, vamos tirar a raiz quadrada de ambos os lados da equação para encontrar a expressão para tan(x + dfracpi6). Lembrando que a raiz quadrada pode ser positiva ou negativa:
tan(x + dfracpi6) = pm dfracraiz22

Passo 3

Como x está entre 0 e dfracpi2, adicionando dfracpi6, o ângulo x + dfracpi6 estará entre dfracpi6 e dfrac2pi3. Nesse intervalo, a tangente é positiva. Portanto, descartamos o valor negativo:
tan(x + dfracpi6) = dfracraiz22

Passo 4

Vamos chamar x + dfracpi6 = theta. Assim, temos:
tantheta = dfracraiz22
Queremos encontrar sin x. Primeiro, expressamos x em termos de theta:
x = theta - dfracpi6

Passo 5

Agora, vamos calcular sin x = sin(theta - dfracpi6). Usamos a fórmula da seno para a diferença de ângulos:
sin(a - b) = sin a cos b - cos a sin b
Aplicando:
sin x = sintheta cos(dfracpi6) - costheta sin(dfracpi6)
Sabemos que cos(dfracpi6) = dfracraiz32 e sin(dfracpi6) = dfrac12.

Passo 6

Para encontrar sintheta e costheta, usamos a relação com a tangente:
tantheta = dfracsinthetacostheta = dfracraiz22
Podemos imaginar um triângulo retângulo onde o cateto oposto a theta é raiz2 e o cateto adjacente é 2. A hipotenusa será:
raiz(raiz2)^2 + 2^2 = raiz2 + 4 = raiz6
Assim, temos:
sintheta = dfracraiz2raiz6 = dfracraiz33
costheta = dfrac2raiz6 = dfracraiz63

Passo 7

Substituindo esses valores na expressão para sin x:
sin x = (dfracraiz33)(dfracraiz32) - (dfracraiz63)(dfrac12)
Realizando as multiplicações:
sin x = dfrac36 - dfracraiz66
Simplificando:
sin x = dfrac3 - raiz66

Resposta

O valor de sin x é dfrac3 - raiz66.

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