O valor da integral dupla
integral duplaR(x-3 y^2) d A
em que R é o retângulo
(x, y) mid 0 <= x <= 3,1 <= y <= 2
é
Escolha uma opção:
  • 12
  • -16,5
  • 16,5
  • -12

Passo 1

Então, a gente tem que calcular uma integral dupla sobre uma região que é um retângulo. A função que a gente vai integrar é f(x, y) = x - 3y^2 . A região R está definida pelas coordenadas 0 <= x <= 3 e 1 <= y <= 2 . Para resolver isso, vamos precisar usar o conceito de integrais duplas, que são usadas para calcular o volume sob a superfície da função sobre a região dada.

Passo 2

Primeiro, vamos entender que a integral dupla integral duplaR (x - 3y^2) , dA pode ser escrita como uma integral iterada. Isso significa que a gente pode integrar primeiro em relação a x e depois em relação a y , ou vice-versa. Vou escolher integrar primeiro em x .
Então, a integral fica:
integraly=1^2 ( integralx=0^3 (x - 3y^2) , dx ) dy

Passo 3

Vamos resolver a integral interna, que é em relação a x :
integral0^3 (x - 3y^2) , dx
Isso se divide em duas partes:
integral0^3 x , dx - integral0^3 3y^2 , dx
A gente integra termo a termo.

Passo 4

Integrando x em relação a x :
integral x , dx = 12x^2
Avaliado de 0 a 3:
12(3)^2 - 12(0)^2 = 92 - 0 = 92

Passo 5

Agora, integrando 3y^2 em relação a x :
Como 3y^2 é uma constante em relação a x , a integral fica:
3y^2 integral0^3 dx = 3y^2 (3 - 0) = 9y^2

Passo 6

Agora, juntando as duas partes da integral interna:
92 - 9y^2
Então, a integral original agora fica:
integral1^2 ( 92 - 9y^2 ) dy

Passo 7

Vamos integrar em relação a y :
integral ( 92 - 9y^2 ) dy = 92y - 3y^3
Avaliado de 1 a 2:
( 92(2) - 3(2)^3 ) - ( 92(1) - 3(1)^3 )

Passo 8

Calculando cada parte:
Para y = 2 :
92 times 2 - 3 times 8 = 9 - 24 = -15
Para y = 1 :
92 times 1 - 3 times 1 = 92 - 3 = 92 - 62 = 32

Passo 9

Subtraindo:
-15 - 32 = -302 - 32 = -332 = -16,5

Resposta

O valor da integral dupla é -16,5.

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