Considere as seguintes afirmaçōes.
A) Uma regiäo sólida E no
R^3
é dita do tipo I se estiver contida entre os gráficos de duas funçōes continuas de x e y, ou seja,
E=(x, y, z) mid(x, y) in D1, u1(x, y) <= z <= u2(x, y)
em que D é a projeção de E sobre o plano xy. Em particular, se a projeção D de E sobre o plano xy é uma regiảo plana do tipo l, então
E=(x, y, z) mid a <= x <= b, g1(x) <= y <= g2(x), u1(x, y) <= z <= w2(x, y),
e
integral triplaE f(x, y, z) d V=integrala^b integralg1(z)^g2(x) integralw1(z, y)^v2(x, y) f(x, y, z) d z d y d x
B) Se numa região sólida E do tipo I, a projeção D de E sobre o plano xy é uma região plana do tipo II então
E=(x, y, z) mid c <= y <= d, h1(y) <= x <= h2(y), u1(x, y) <= z <= u2(x, y),
e
integral triplaE f(x, y, z) d V=integralc^d integralhr(y)^h2(y) integralu1(x, y)^u2(x, y) f(x, y, z) d z d y d x
C) Uma região sólida E é do tipo 2 se for da forma
E=(x, y, z) mid(x, z) in D, u1(x, z) <= z <= u2(x, z),
onde D é a projeção de E sobre o plano xz
D) Uma região sólida E é do tipo 3 se for da forma
E=(x, y, z) mid(y, z) in D, u1(y, z) <= z <= u2(y, z),
onde D é a projeção de E sobre o plano yz
Podemos afirmar
Escolha uma opção:
  • Apenas A e B estão corretas
  • Todas as afirmaçōes estão incorretas
  • Todas as afirmaçoes estão corretas
  • Apenas B e C estão corretas

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre diferentes tipos de regiões sólidas no espaço tridimensional, ou seja, no R^3. Essas regiões são classificadas como tipo I, II, 2 ou 3, dependendo de como elas são delimitadas por funções contínuas. A gente vai precisar entender como essas definições funcionam para analisar as afirmações A, B, C e D e ver quais estão corretas.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é uma região sólida do tipo I. Segundo a afirmação A, uma região sólida E no R^3 é dita do tipo I se estiver contida entre os gráficos de duas funções contínuas de x e y. Basicamente, isso significa que para cada ponto (x, y) na projeção D da região sobre o plano xy, a coordenada z varia entre duas funções u1(x, y) e u2(x, y). A integral tripla também está definida de forma padrão para esse tipo de região.

Passo 3

Agora, olhando para a afirmação B, ela fala sobre uma região sólida do tipo I, mas especifica que a projeção D sobre o plano xy é do tipo II. Isso quer dizer que, em vez de variar com x, a projeção varia com y. A estrutura da definição e da integral tripla está adaptada para essa situação. Parece coerente com a definição geral do tipo I, apenas considerando uma projeção do tipo II.

Passo 4

A afirmação C introduz uma nova classificação: regiões sólidas do tipo 2. Aqui, a região E é definida em termos da projeção sobre o plano xz. Ou seja, para cada ponto (x, z) na projeção D, a coordenada y varia entre duas funções u1(x, z) e u2(x, z). Isso está alinhado com a ideia de classificar regiões sólidas com base em diferentes planos de projeção.

Passo 5

Por fim, a afirmação D fala sobre regiões sólidas do tipo 3, definidas pela projeção sobre o plano yz. Assim como na afirmação C, mas agora considerando (y, z) na projeção D, com x variando entre u1(y, z) e u2(y, z). Essa definição segue o mesmo padrão das anteriores, adaptando a projeção para outro plano.

Passo 6

Agora, vamos analisar quais dessas afirmações estão corretas:
  • Afirmação A: Está correta. A definição está alinhada com a definição geral de regiões do tipo I.
  • Afirmação B: Também está correta. Ela adapta a definição do tipo I para uma projeção do tipo II, o que é válido.
  • Afirmação C: Correta. Introduz uma nova classificação baseada na projeção sobre o plano xz de forma apropriada.
  • Afirmação D: Correta. Segue o mesmo raciocínio das anteriores, adaptando para a projeção sobre o plano yz.

Resposta

Todas as afirmações estão corretas.

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