O valor da integral de linha
integralc y^2 d x+x d y
em que c é o segmento de reta de (-5,-3) a (0,2) é
Escolha uma opção:
56
-56
65
-65

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral de linha:
integralc y^2 , dx + x , dy
onde c é o segmento de reta que vai de (-5, -3) até (0, 2). Vamos precisar usar conhecimentos de cálculo vetorial, especificamente sobre integrais de linha ao longo de um caminho reto. Vamos lá!

Passo 2

Primeiro, precisamos parametrizar o segmento de reta de (-5, -3) a (0, 2). Para isso, vamos definir uma variável t que varia de 0 a 1, representando nosso progresso ao longo do caminho.
A parametrização fica:
x(t) = -5 + (0 - (-5))t = -5 + 5t
y(t) = -3 + (2 - (-3))t = -3 + 5t
Então, quando t = 0 , estamos no ponto (-5, -3), e quando t = 1 , chegamos em (0, 2).

Passo 3

Agora, precisamos encontrar as derivadas de x(t) e y(t) em relação a t :
dxdt = 5
dydt = 5

Passo 4

Substituímos x(t) , y(t) , dxdt e dydt na integral original. A integral de linha se transforma em uma integral definida de t = 0 a t = 1 :
integral0^1 [ y(t)^2 cdot dxdt + x(t) cdot dydt ] dt
Substituindo:
integral0^1 [ (-3 + 5t)^2 cdot 5 + (-5 + 5t) cdot 5 ] dt

Passo 5

Vamos simplificar a expressão dentro da integral:
Primeiro, expandimos (-3 + 5t)^2 :
(-3 + 5t)^2 = 9 - 30t + 25t^2
Agora, multiplicamos por 5:
5 cdot (9 - 30t + 25t^2) = 45 - 150t + 125t^2
Em seguida, multiplicamos (-5 + 5t) por 5:
5 cdot (-5 + 5t) = -25 + 25t
Agora, somamos as duas partes:
45 - 150t + 125t^2 - 25 + 25t = 20 - 125t + 125t^2

Passo 6

Agora, a integral fica:
integral0^1 (125t^2 - 125t + 20) dt
Podemos integrar termo a termo:
= 125 integral0^1 t^2 dt - 125 integral0^1 t dt + 20 integral0^1 dt
Calculando cada integral:
125 [ t^33 ]0^1 - 125 [ t^22 ]0^1 + 20 [ t ]0^1
Isso resulta em:
125 ( 13 - 0 ) - 125 ( 12 - 0 ) + 20 (1 - 0)
Simplificando:
1253 - 1252 + 20

Passo 7

Vamos encontrar um denominador comum para somar as frações:
O denominador comum entre 3 e 2 é 6:
1253 = 2506
1252 = 3756
Agora, substituímos de volta:
2506 - 3756 + 20 = -1256 + 20
Convertendo 20 para ter o mesmo denominador:
20 = 1206
Então:
-1256 + 1206 = -56

Resposta

O valor da integral é -56 .

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