Considere a equação \frac{d y}{d t}+p(t) y=0
Mostre que se y_{1}(t) é solução da equação, então y(t)=c y_{1}(t) também o é, para qualquer constante c.

Passo 1

O enunciado nos dá a equação diferencial
\frac{d y}{d t}+p(t)\,y=0
e diz que y_{1}(t) é uma solução dessa equação. O que se pede: mostrar que, para qualquer constante c, a função
y(t)=c\,y_{1}(t)
é também solução. Informações relevantes fornecidas:
  • p(t) é uma função de t definida no intervalo considerado;
  • y_{1}(t) satisfaz \dfrac{d y_{1}}{d t}+p(t)\,y_{1}=0;
  • c é uma constante (real ou complexa, conforme o contexto).

Passo 2

Primeiro lembrete útil (mini-aula curta): derivada de uma constante vezes uma função. Se c é uma constante e y_{1}(t) é diferenciável, então a derivada do produto c\,y_{1}(t) é
\frac{d}{dt}\big(c\,y_{1}(t)\big)=c\,\frac{d y_{1}}{dt}.
Explicação: a regra do produto diz \dfrac{d}{dt}(u v)=u'v+uv'. Aqui u=c tem derivada u'=0, então sobra c\,y_{1}'. É por isso que constantes “saem” da derivada.

Passo 3

Defina o operador linear L por
L[y]=\frac{d y}{d t}+p(t)\,y.
Mostrar que y=c\,y_{1} é solução equivale a mostrar que L[c\,y_{1}]=0. Usando a propriedade da derivada do passo anterior, calcula-se L[c\,y_{1}]:
L[c\,y_{1}]=\frac{d}{dt}\big(c\,y_{1}\big)+p(t)\big(c\,y_{1}\big) = c\,\frac{d y_{1}}{dt}+c\,p(t)\,y_{1}.

Passo 4

Fatora-se c na expressão do passo anterior:
L[c\,y_{1}]=c\left(\frac{d y_{1}}{dt}+p(t)\,y_{1}\right).
Como dado no enunciado, y_{1} é solução, ou seja,
\frac{d y_{1}}{dt}+p(t)\,y_{1}=0.
Portanto
L[c\,y_{1}]=c\cdot 0=0.

Passo 5

Conclusão lógica: L[c\,y_{1}]=0 significa que y(t)=c\,y_{1}(t) satisfaz a equação \dfrac{d y}{d t}+p(t)\,y=0, então é solução para qualquer constante c. Observações didáticas e intuitivas:
  • Isso funciona porque a equação é linear e homogênea; o operador L é linear, ou seja, L[a u + b v]=a L[u]+b L[v] para constantes a,b. Em particular, multiplicar uma solução por uma constante preserva a igualdade zero.
  • Se a equação fosse não-homogênea (por exemplo \dfrac{dy}{dt}+p(t)y=q(t) com q(t)\neq 0), essa propriedade de multiplicar por constantes NÃO valeria em geral.
  • Exemplo concreto para fixar: se p(t)=2 e y_{1}(t)=e^{-2t} (verifique: y_{1}'=-2e^{-2t} e y_{1}'+2y_{1}=0), então para qualquer c a função y(t)=c e^{-2t} também satisfaz a equação.

Resposta

y(t)=c\,y_{1}(t)

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