Considere a equação
Mostre que se
é solução da equação, então
também o é, para qualquer constante
.
Mostre que se
Passo 1
O enunciado nos dá a equação diferencial
e diz que
é uma solução dessa equação. O que se pede: mostrar que, para qualquer constante
, a função
é também solução. Informações relevantes fornecidas:
-
é uma função de definida no intervalo considerado; -
satisfaz ; -
é uma constante (real ou complexa, conforme o contexto).
Passo 2
Primeiro lembrete útil (mini-aula curta): derivada de uma constante vezes uma função. Se
é uma constante e
é diferenciável, então a derivada do produto
é
Explicação: a regra do produto diz
. Aqui
tem derivada
, então sobra
. É por isso que constantes “saem” da derivada.
Passo 3
Defina o operador linear
por
Mostrar que
é solução equivale a mostrar que
. Usando a propriedade da derivada do passo anterior, calcula-se
:
Passo 4
Fatora-se
na expressão do passo anterior:
Como dado no enunciado,
é solução, ou seja,
Portanto
Passo 5
Conclusão lógica:
significa que
satisfaz a equação
, então é solução para qualquer constante
. Observações didáticas e intuitivas:
- Isso funciona porque a equação é linear e homogênea; o operador
é linear, ou seja, para constantes . Em particular, multiplicar uma solução por uma constante preserva a igualdade zero. - Se a equação fosse não-homogênea (por exemplo
com ), essa propriedade de multiplicar por constantes NÃO valeria em geral. - Exemplo concreto para fixar: se
e (verifique: e ), então para qualquer a função também satisfaz a equação.