Resolva as equações:
Passo 1
O enunciado nos dá a equação diferencial
e pede encontrar a solução geral
.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
- A equação relaciona
com e pela fórmula acima. - Há divisões por
e por no lado direito, portanto a equação não é definida em pontos onde ou . Assim a solução geral será válida em intervalos onde e . - O objetivo é obter uma expressão para
em função de (solução geral), possivelmente de forma implícita ou explícita, com uma constante arbitrária de integração.
Passo 2
Vamos manipular a equação para separar as variáveis
e
(método de equações separáveis). Multiplicando ambos os lados por
(desde que não sejam zero), obtemos:
Agora escrevemos em forma separada para integrar:
Passo 3
Integramos ambos os lados. Escrevendo a igualdade de integrais:
Agora vamos calcular cada integral detalhadamente.
Passo 4
Cálculo da integral à esquerda:
Fazemos a substituição clássica
. Então
, logo
. Assim
Voltando para
:
(Observe que
sempre, então podemos escrever
sem valor absoluto, mas manterei a forma padrão.)
Passo 5
Cálculo da integral à direita:
Fazemos uma decomposição útil. Note que
Verificação rápida:
.
Agora integramos termo a termo:
Portanto
Passo 6
Igualando as duas integrais (colocando uma única constante de integração
):
Multiplicando por
:
onde
é outra constante arbitrária. Agora usamos propriedades dos logaritmos:
e a diferença de logaritmos vira quociente, então
Exponenciando ambos os lados (isto é, aplicando
), obtemos
onde
é uma constante positiva arbitrária. Multiplicando ambos os lados por
obtemos uma forma implícita simples:
Aqui
é a constante de integração. Essa é uma forma conveniente da solução geral.
Passo 7
Se quisermos uma forma explícita para
, isolamos
:
Portanto
com a condição de que o conteúdo da raiz seja não negativo (isso impõe restrições em
dependendo do valor de
). Lembre-se também de que
e
no domínio onde a equação original é válida.
Passo 8
Observações finais e domínio:
- A constante
é arbitrária e positiva (surge da exponenciação de uma constante real). - A solução implícita
é muitas vezes a forma mais limpa para apresentar a família de soluções. - Não existem soluções constantes
constante que satisfaçam a equação original (por exemplo não serve porque o lado direito fica indefinido). - Cada solução válida deve ser interpretada em um intervalo onde
e o radicando (no caso da forma explícita) seja não negativo.