Resolva as equações:
\frac{d y}{d x}=\frac{1+y^{2}}{\left(1+x^{2}\right) x y}

Passo 1

O enunciado nos dá a equação diferencial
\frac{d y}{d x}=\frac{1+y^{2}}{\left(1+x^{2}\right) x y},
e pede encontrar a solução geral y(x).
Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • A equação relaciona \dfrac{dy}{dx} com x e y pela fórmula acima.
  • Há divisões por x e por y no lado direito, portanto a equação não é definida em pontos onde x=0 ou y=0. Assim a solução geral será válida em intervalos onde x\neq0 e y\neq0.
  • O objetivo é obter uma expressão para y em função de x (solução geral), possivelmente de forma implícita ou explícita, com uma constante arbitrária de integração.

Passo 2

Vamos manipular a equação para separar as variáveis x e y (método de equações separáveis). Multiplicando ambos os lados por \dfrac{x y (1+x^{2})}{1+y^{2}} (desde que não sejam zero), obtemos:
\frac{y}{1+y^{2}}\,\frac{d y}{d x}=\frac{1}{x(1+x^{2})}.
Agora escrevemos em forma separada para integrar:
\frac{y}{1+y^{2}}\,dy=\frac{1}{x(1+x^{2})}\,dx.

Passo 3

Integramos ambos os lados. Escrevendo a igualdade de integrais:
\int \frac{y}{1+y^{2}}\,dy=\int \frac{1}{x(1+x^{2})}\,dx.
Agora vamos calcular cada integral detalhadamente.

Passo 4

Cálculo da integral à esquerda:
\int \frac{y}{1+y^{2}}\,dy.
Fazemos a substituição clássica u=1+y^{2}. Então du=2y\,dy, logo y\,dy=\dfrac{1}{2}du. Assim
\int \frac{y}{1+y^{2}}\,dy=\int \frac{1}{u}\cdot\frac{1}{2}\,du=\frac{1}{2}\int \frac{1}{u}\,du=\frac{1}{2}\ln|u|+\text{const}.
Voltando para y:
\int \frac{y}{1+y^{2}}\,dy=\frac{1}{2}\ln\!\bigl(1+y^{2}\bigr)+\text{const}.
(Observe que 1+y^{2}>0 sempre, então podemos escrever \ln(1+y^{2}) sem valor absoluto, mas manterei a forma padrão.)

Passo 5

Cálculo da integral à direita:
\int \frac{1}{x(1+x^{2})}\,dx.
Fazemos uma decomposição útil. Note que
\frac{1}{x(1+x^{2})}=\frac{1}{x}-\frac{x}{1+x^{2}}.
Verificação rápida: \dfrac{1}{x}-\dfrac{x}{1+x^{2}}=\dfrac{1+x^{2}-x^{2}}{x(1+x^{2})}=\dfrac{1}{x(1+x^{2})}.
Agora integramos termo a termo:
\int\frac{1}{x}\,dx=\ln|x|,\qquad \int\frac{x}{1+x^{2}}\,dx=\frac{1}{2}\ln\!\bigl(1+x^{2}\bigr).
Portanto
\int \frac{1}{x(1+x^{2})}\,dx=\ln|x|-\frac{1}{2}\ln\!\bigl(1+x^{2}\bigr)+\text{const}.

Passo 6

Igualando as duas integrais (colocando uma única constante de integração C):
\frac{1}{2}\ln\!\bigl(1+y^{2}\bigr)=\ln|x|-\frac{1}{2}\ln\!\bigl(1+x^{2}\bigr)+C.
Multiplicando por 2:
\ln\!\bigl(1+y^{2}\bigr)=2\ln|x|-\ln\!\bigl(1+x^{2}\bigr)+C',
onde C'=2C é outra constante arbitrária. Agora usamos propriedades dos logaritmos: 2\ln|x|=\ln(x^{2}) e a diferença de logaritmos vira quociente, então
\ln\!\bigl(1+y^{2}\bigr)=\ln\!\left(\frac{x^{2}}{1+x^{2}}\right)+C'.
Exponenciando ambos os lados (isto é, aplicando e^{(\cdot)}), obtemos
1+y^{2}=K\frac{x^{2}}{1+x^{2}},
onde K=e^{C'}>0 é uma constante positiva arbitrária. Multiplicando ambos os lados por 1+x^{2} obtemos uma forma implícita simples:
\bigl(1+y^{2}\bigr)\bigl(1+x^{2}\bigr)=K x^{2}.
Aqui K>0 é a constante de integração. Essa é uma forma conveniente da solução geral.

Passo 7

Se quisermos uma forma explícita para y, isolamos y:
y^{2}=\frac{K x^{2}}{1+x^{2}}-1=\frac{(K-1)x^{2}-1}{1+x^{2}}.
Portanto
y=\pm\sqrt{\frac{K x^{2}}{1+x^{2}}-1},
com a condição de que o conteúdo da raiz seja não negativo (isso impõe restrições em x dependendo do valor de K). Lembre-se também de que x\neq0 e y\neq0 no domínio onde a equação original é válida.

Passo 8

Observações finais e domínio:
  • A constante K é arbitrária e positiva (surge da exponenciação de uma constante real).
  • A solução implícita \bigl(1+y^{2}\bigr)\bigl(1+x^{2}\bigr)=K x^{2} é muitas vezes a forma mais limpa para apresentar a família de soluções.
  • Não existem soluções constantes y= constante que satisfaçam a equação original (por exemplo y=0 não serve porque o lado direito fica indefinido).
  • Cada solução válida deve ser interpretada em um intervalo onde x\neq0 e o radicando (no caso da forma explícita) seja não negativo.

Resposta

\bigl(1+y^{2}\bigr)\bigl(1+x^{2}\bigr)=K x^{2},\quad K>0
\displaystyle y=\pm\sqrt{\frac{K x^{2}}{1+x^{2}}-1},\quad K>0

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