Resolva as equações:
\left(x^{2}-1\right) \sqrt{1-y^{2}} d x-x^{2} d y=0

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial
\left(x^{2}-1\right)\sqrt{1-y^{2}}\,dx - x^{2}\,dy = 0.
O que precisamos: encontrar a solução geral y(x) (constante de integração incluída). Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • A presença de \sqrt{1-y^{2}} exige que |y|\le 1 sempre que a raiz for real.
  • Ao manipular a equação pode aparecer divisão por x^{2}, portanto devemos ficar atentos ao caso x=0 separado.
  • Também é preciso verificar se existem soluções constantes especiais (por exemplo y=\pm1) que anulam a raiz.

Passo 2

Vamos reescrever a equação em forma de derivada para identificar o tipo de equação. Dividindo ambos os lados por dx obtemos
\left(x^{2}-1\right)\sqrt{1-y^{2}} - x^{2}\,\frac{dy}{dx}=0.
Isolando \dfrac{dy}{dx} vem
\frac{dy}{dx}=\frac{x^{2}-1}{x^{2}}\sqrt{1-y^{2}}.
Note que aqui já aparece \dfrac{1}{x^{2}}, então a manipulação abaixo será válida para x\neq 0. Expresse também o fator à direita de forma mais simples:
\frac{dy}{dx}=\left(1-\frac{1}{x^{2}}\right)\sqrt{1-y^{2}}.

Passo 3

Reconhecemos que a equação é separável: todas as partes com y podem ir para um lado e as com x para o outro. Dividindo por \sqrt{1-y^{2}} (válido quando \sqrt{1-y^{2}}\neq 0, i.e. y\neq\pm1) e multiplicando por dx obtemos
\frac{dy}{\sqrt{1-y^{2}}}=\left(1-\frac{1}{x^{2}}\right)dx,
válido para x\neq 0 e y\neq\pm1. Antes de integrar, identifiquemos soluções que o processo de separação pode perder:
  • Se y=\pm1 então \sqrt{1-y^{2}}=0 e substituindo na equação original obtemos 0- x^{2}\,d(\pm1)=0, isto é, a equação fica satisfeita. Portanto y=1 e y=-1 são soluções constantes (soluções singulares) que devem ser listadas separadamente.

Passo 4

Agora integramos os dois lados. Vou justificar as integrais:
  • A primitiva de \dfrac{1}{\sqrt{1-y^{2}}} em relação a y é \arcsin(y), pois \dfrac{d}{dy}\arcsin(y)=\dfrac{1}{\sqrt{1-y^{2}}}.
  • A primitiva de 1-\dfrac{1}{x^{2}} em relação a x é x+\dfrac{1}{x}, porque \dfrac{d}{dx}x=1 e \dfrac{d}{dx}\left(\dfrac{1}{x}\right)=-\dfrac{1}{x^{2}}.
Portanto, integrando:
\int \frac{dy}{\sqrt{1-y^{2}}}=\int\left(1-\frac{1}{x^{2}}\right)dx
leva a
\arcsin(y)=x+\frac{1}{x}+C,
onde C é a constante de integração (combinação das constantes de ambos os lados).

Passo 5

Isolando y obtemos a forma explícita da solução geral (para x\neq 0 e excluindo as soluções constantes já tratadas):
y=\sin\!\left(x+\frac{1}{x}+C\right).
Aqui C é uma constante arbitrária real que desloca a fase do seno. Repare que a solução só faz sentido onde |y|\le 1, o que é garantido pela função seno.
Também recordando as soluções singulares encontradas:
y=1\quad\text{e}\quad y=-1
são soluções constantes válidas para todos os x.

Resposta

\arcsin(y)=x+\dfrac{1}{x}+C
y=\sin\!\left(x+\dfrac{1}{x}+C\right)
y=1,\\ y=-1

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