Resolva as equações:
Passo 1
O enunciado dá a equação diferencial
O que precisamos: encontrar a solução geral
(constante de integração incluída). Informações relevantes extraídas do enunciado:
- A presença de
exige que sempre que a raiz for real. - Ao manipular a equação pode aparecer divisão por
, portanto devemos ficar atentos ao caso separado. - Também é preciso verificar se existem soluções constantes especiais (por exemplo
) que anulam a raiz.
Passo 2
Vamos reescrever a equação em forma de derivada para identificar o tipo de equação. Dividindo ambos os lados por
obtemos
Isolando
vem
Note que aqui já aparece
, então a manipulação abaixo será válida para
. Expresse também o fator à direita de forma mais simples:
Passo 3
Reconhecemos que a equação é separável: todas as partes com
podem ir para um lado e as com
para o outro. Dividindo por
(válido quando
, i.e.
) e multiplicando por
obtemos
válido para
e
. Antes de integrar, identifiquemos soluções que o processo de separação pode perder:
- Se
então e substituindo na equação original obtemos , isto é, a equação fica satisfeita. Portanto e são soluções constantes (soluções singulares) que devem ser listadas separadamente.
Passo 4
Agora integramos os dois lados. Vou justificar as integrais:
- A primitiva de
em relação a é , pois . - A primitiva de
em relação a é , porque e .
Portanto, integrando:
leva a
onde
é a constante de integração (combinação das constantes de ambos os lados).
Passo 5
Isolando
obtemos a forma explícita da solução geral (para
e excluindo as soluções constantes já tratadas):
Aqui
é uma constante arbitrária real que desloca a fase do seno. Repare que a solução só faz sentido onde
, o que é garantido pela função seno.
Também recordando as soluções singulares encontradas:
são soluções constantes válidas para todos os
.