Considere a equação geral de uma reta no plano nas coordenadas cartesianas. Passe-a para coordenadas polares.

Passo 1

O enunciado pede para transformar a equação geral de uma reta em coordenadas cartesianas para coordenadas polares. Vamos usar o fato de que em coordenadas polares cada ponto do plano é dado por (r,\theta) com as relações entre x,y e r,\theta.

Passo 2

A forma geral de uma reta em coordenadas cartesianas é
a\,x + b\,y + c = 0,
onde a, b e c são constantes que definem a reta.

Passo 3

Em coordenadas polares, as coordenadas cartesianas x e y são expressas por
x = r\cos\theta,
y = r\sin\theta,
onde r\ge0 é a distância à origem e \theta é o ângulo medido a partir do eixo x.

Passo 4

Substituindo essas expressões na equação da reta obtemos
a\,(r\cos\theta) + b\,(r\sin\theta) + c = 0.
Fatorando r, fica
r\,(a\cos\theta + b\sin\theta) + c = 0.

Passo 5

Isolando r, chegamos à forma em coordenadas polares:
r = -\frac{c}{a\cos\theta + b\sin\theta},
com a ressalva de que o denominador a\cos\theta + b\sin\theta não pode ser zero.

Resposta

r = -\frac{c}{a\cos\theta + b\sin\theta}.

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