Identifique as curvas, dê as correspondentes equações em coordenadas cartesianas e faça um esboço dos gráficos das funções abaixo, dadas em coordenadas polares. Em cada caso, determine o período.
r=3+2 \cos \theta.

Passo 1

O enunciado dá a curva polar
r = 3 + 2\cos\theta
e pede (a) que a identifiquemos, (b) que escrevamos sua equação em coordenadas cartesianas e (c) que esbocemos o gráfico, além de determinar o período. O conteúdo envolve curvas em coordenadas polares, conversão para coordenadas cartesianas e análise de simetria e extremos de r(\theta).

Passo 2

Para achar a forma cartesiana usamos r = \sqrt{x^2+y^2} e \cos\theta = x/r. Assim
\sqrt{x^2+y^2} \;=\; 3 + 2\,\frac{x}{\sqrt{x^2+y^2}}.
Multiplicando ambos os lados por \sqrt{x^2+y^2} vem
x^2+y^2 = 3\sqrt{x^2+y^2} + 2x.
Isolamos o radical e elevamos ao quadrado:
\bigl(x^2+y^2 -2x\bigr)^2 = 9\,(x^2+y^2).
Essa é a equação cartesiana da curva.

Passo 3

A curva r=3+2\cos\theta é um limaçon de Pascal (caso a=3>b=2, não tem laço interior).
– Simetria: como \cos\theta é par, a curva é simétrica em relação ao eixo x.
– Valores notáveis:
\theta=0\implies r=5 (ponto (5,0)),
\theta=\pi/2\implies r=3 (ponto (0,3)),
\theta=\pi\implies r=1 (ponto (-1,0)),
\theta=3\pi/2\implies r=3 (ponto (0,-3)).
O raio varia entre r_{\min}=1 e r_{\max}=5, gerando um “barrigão” para a direita.

Passo 4

Esboço do gráfico:
Desenhe um ponto mais afastado em (5,0), outro mais próximo em (-1,0), e os topos em (0,\pm3). Ligue suavemente formando uma curva convexa, dente de limaçon, com a parte mais protuberante voltada para +x.

Passo 5

Como \cos\theta tem período 2\pi, segue que
r(\theta+2\pi)=3+2\cos(\theta+2\pi)=3+2\cos\theta=r(\theta).
Portanto, o período da curva é 2\pi.

Resposta

Equação cartesiana:
\bigl(x^2+y^2 -2x\bigr)^2 = 9\,(x^2+y^2).
Período: 2\pi.

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