Identifique as curvas, dê as correspondentes equações em coordenadas cartesianas e faça um esboço dos gráficos das funções abaixo, dadas em coordenadas polares. Em cada caso, determine o período.
.
Passo 1
O enunciado dá a curva polar
e pede (a) que a identifiquemos, (b) que escrevamos sua equação em coordenadas cartesianas e (c) que esbocemos o gráfico, além de determinar o período. O conteúdo envolve curvas em coordenadas polares, conversão para coordenadas cartesianas e análise de simetria e extremos de
.
Passo 2
Para achar a forma cartesiana usamos
e
. Assim
Multiplicando ambos os lados por
vem
Isolamos o radical e elevamos ao quadrado:
Essa é a equação cartesiana da curva.
Passo 3
A curva
é um limaçon de Pascal (caso
, não tem laço interior).
– Simetria: como é par, a curva é simétrica em relação ao eixo
.
– Valores notáveis:
(ponto
),
(ponto
),
(ponto
),
(ponto
).
O raio varia entre e
, gerando um “barrigão” para a direita.
– Simetria: como
– Valores notáveis:
O raio varia entre
Passo 4
Esboço do gráfico:
Desenhe um ponto mais afastado em , outro mais próximo em
, e os topos em
. Ligue suavemente formando uma curva convexa, dente de limaçon, com a parte mais protuberante voltada para
.
Desenhe um ponto mais afastado em
Passo 5
Como
tem período
, segue que
Portanto, o período da curva é
.
Resposta
Equação cartesiana:
Período:
.