Considere a equação geral de segundo grau em R^2 definida por
-46 x^2-40 x y+29 y^2+236 x+178 y-367=0
I. Realize as operações de rotação e translação apropriadas para obter a forma reduzida da equação.

Passo 1

O enunciado nos dá a cônica
-46x^2-40xy+29y^2+236x+178y-367=0
e pede para, via rotação e translação, eliminar o termo em xy e depois os termos lineares, obtendo a forma reduzida (canônica). Vamos primeiro identificar os coeficientes do termo quadrático e fazer a rotação que zera o coeficiente xy.

Passo 2

Seja
A=-46, B=-40, C=29
Para eliminar xy usamos a rotação de ângulo theta tal que
tan(2theta)=BA-C=-40-46-29=4075=815
Escolhendo theta com 0<theta<tfracpi2, temos
cos(2theta)=1517,sin(2theta)=817,
e das fórmulas de meia-soma
costheta=4raiz17, sintheta=1raiz17
Logo fazemos a troca de variáveis
x=dfrac4X - Yraiz17,[6pt] y=dfracX + 4Yraiz17
]

Passo 3

Substituindo na parte quadrática verifica-se que ela se diagonaliza com autovalores
lambda1=A+C+raiz(A-C)^2+B^22=34, lambda2=A+C-raiz(A-C)^2+B^22=-51
Os termos lineares transformam-se em
236x+178y=1122raiz17,X+476raiz17,Y
Assim, na coordenadas (X,Y) a equação fica
34X^2-51Y^2+1122raiz17,X+476raiz17,Y-367=0

Passo 4

Agora eliminamos os termos lineares completando quadrados. Chamando
L1=1122raiz17, L2=476raiz17,
temos que deslocar
X = U - h, Y = V - k,
com
h = -L12lambda1=-1122/,raiz172cdot34 =-332raiz17, k = -L22lambda2=-476/,raiz172cdot(-51) =143raiz17
Fazendo esse deslocamento a equação passa a ser
34,U^2-51,V^2+l(constanter)=0
O termo constante ajusta-se para
34l(-h^2r)-51l(-k^2r)-367 =-50776,
de modo que
34,U^2-51,V^2-50776=0

Passo 5

Por fim escrevemos a forma reduzida, colocando a constante no lado direito:
34l(Ur)^2-51l(Vr)^2 =50776,
onde
U=X+332raiz17, V=Y-143raiz17,
e (X,Y) são obtidos da rotação
;x=(4X-Y)/raiz17,;y=(X+4Y)/raiz17

Resposta

34l(X+tfrac332raiz17r)^2 -51l(Y-tfrac143raiz17r)^2 =50776

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