Considere o espaço vetorial Pn de polinômios de ordem menor ou igual à n e as seguintes transformações lineares definidas no espaço:
ll T1: Pn Pn & T1[p(x)]=p(a1 x+b1) T2: Pn Pn+1 & T2[p(x)]=(a2 x+b2) p(x)
BRUNA EDUARDA ANTONIOLLI
(a1, b1)=(-83,-1) (a2, b2)=(-34, 83)
Partindo de um polinômio p in P2, determine as matrizes de transformação definidas a seguir.
I. Matriz M1 associada a transformação T1[p(x)].

Passo 1

O enunciado pede a matriz M1 da transformação linear
T1:P2to P2, T1[p(x)]=pl(a1x+b1r)
onde l(a1,b1r)=l(-tfrac83,-1r).
Vamos trabalhar na base padrão 1,x,x^2 de P2.

Passo 2

Para obter a matriz de T1, basta calcular as imagens dos vetores da base e expressá-los na mesma base. As colunas de M1 serão as coordenadas de T1[1], T1[x] e T1[x^2].

Passo 3

Calcule T1[1]. Como 1 é constante,
T1[1]=1
Na base 1,x,x^2, isso corresponde ao vetor de coordenadas
l[,1,,0,,0r]^T

Passo 4

Calcule T1[x]. Temos
T1[x]=,a1x+b1 =-tfrac83,x-1
Logo, na base padrão as coordenadas são
l[,-1,,-tfrac83,,0r]^T

Passo 5

Calcule T1[x^2].
T1[x^2]=l(a1x+b1r)^2 =l(-tfrac83x-1r)^2 =tfrac649,x^2+tfrac163,x+1
As coordenadas são
l[,1,,tfrac163,,tfrac649r]^T

Passo 6

Agora montamos M1 cujas colunas são as coordenadas encontradas em cada passo:
M1 = 1 & -1 & 1 0 & -83 & 163 0 & 0 & 649

Resposta

M1 = 1 & -1 & 1 0 & -83 & 163 0 & 0 & 649

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