Considere a equação homogênea
e
funções contínuas num intervalo
. Sejam
e
duas soluções desta equação no intervalo
. Seja
o wronskiano de
e
no intervalo
. Mostre que:
©
.
©
Passo 1
O enunciado apresenta a equação diferencial linear homogênea de 2ª ordem
com
contínuas num intervalo
. Temos duas soluções independentes
e
e queremos mostrar que o wronskiano delas satisfaz a fórmula de Abel:
.
Passo 2
Vamos lembrar a definição de wronskiano:
Passo 3
Calculamos a derivada de
:
Passo 4
Como
satisfazem
, temos
. Substituindo em
:
Passo 5
Agrupando termos, observa-se que os termos com
se cancelam e sobra
ou seja,
Passo 6
Essa é uma equação linear de 1ª ordem para
. Usando o fator integrante
, obtemos
portanto