Considere a equação homogênea y^prime prime+p(t) y^prime+q(t) y=0, com p(t) e q(t) funções contínuas num intervalo I. Sejam y1(t) e y2(t) duas soluções desta equação no intervalo I. Seja W[y1, y2](t) o wronskiano de y1(t) e y2(t) no intervalo I. Mostre que:
© W[y1, y2](t)=c e^-integral p(t) d t.

Passo 1

O enunciado apresenta a equação diferencial linear homogênea de 2ª ordem y''+p(t)y'+q(t)y=0 com p,q contínuas num intervalo I. Temos duas soluções independentes y1(t) e y2(t) e queremos mostrar que o wronskiano delas satisfaz a fórmula de Abel: W[y1,y2](t)=c,e^-integral p(t),dt.

Passo 2

Vamos lembrar a definição de wronskiano:
W[y1,y2](t)=y1(t),y2'(t)-y1'(t),y2(t)

Passo 3

Calculamos a derivada de W:
W'[y1,y2](t)=ddtl(y1y2'-y1'y2r)=y1(t)y2''(t)-y1''(t)y2(t)

Passo 4

Como yi satisfazem yi''+p(t)yi'+q(t)yi=0, temos yi''=-p(t)yi'-q(t)yi. Substituindo em W':
W'=y1l(-p,y2'-q,y2r)-l(-p,y1'-q,y1r)y2

Passo 5

Agrupando termos, observa-se que os termos com q se cancelam e sobra
W'=-p(t)l(y1y2'-y1'y2r)=-p(t),W[y1,y2](t),
ou seja,
W'+p(t)W=0

Passo 6

Essa é uma equação linear de 1ª ordem para W. Usando o fator integrante e^integral p(t),dt, obtemos
ddtl(W,e^integral p(t),dtr)=0 implies W(t)e^integral p(t),dt=c
portanto
W(t)=c,e^-integral p(t),dt

Resposta

W[y1,y2](t)=c,e^-integral p(t),dt

Exercícios relacionados