Considere a equação integral de Volterra
\varphi(t)=f(t)+\int_{0}^{t} K(t-s) \varphi(s) d s
(a) Resolva a equação integral (1) utilizando a transformada de Laplace.
(b) Diferenciando a equação (1) duas vezes, mostre que \varphi(t) satisfaz a equação diferencial
\varphi^{\prime \prime}(t)+a \varphi(t)=g(t)
em que a é uma constante positiva e g(t) é determinada a partir de f(t).
(c) Mostre, também, que as condições iniciais associadas à equação diferencial do item (b) são
\varphi(0)=\phi_{0}, \quad \varphi^{\prime}(0)=\phi_{1}
onde \phi_{0} e \phi_{1} são constantes apropriadas.
(d) Resolva o problema de valor inicial do item (b) e verifique que a solução obtida coincide com aquela encontrada no item (a).

Passo 1

O enunciado dá a equação integral de Volterra (de convolução)
\varphi(t)=f(t)+\int_{0}^{t} K(t-s)\,\varphi(s)\,ds
e pede quatro coisas:
  • (a) resolver a equação integral usando transformada de Laplace;
  • (b) diferenciando duas vezes a equação, mostrar que \varphi(t) satisfaz uma equação diferencial da forma \varphi''(t)+a\,\varphi(t)=g(t),em que a>0 é uma constante e g(t) é determinada a partir de f(t);
  • (c) mostrar quais são as condições iniciais associadas à equação diferencial (isto é, expressar \varphi(0) e \varphi'(0) em termos de dados do problema);
  • (d) resolver o problema de valor inicial do item (b) e verificar que essa solução coincide com a obtida em (a).
Informações relevantes que o enunciado fornece:
  • A função K é o kernel dependente de t-s (convolução causal de 0 a t).
  • As funções envolvidas f(t),\varphi(t),K(t) são tais que as transformadas de Laplace existem e as derivadas necessárias podem ser trocadas com a integral (ou seja, hipóteses usuais de regularidade para manipular as derivadas do termo integral).
  • Não há valores numéricos dados; o que se pede é uma solução em termos de transformadas e das funções f e K.

Passo 2

Resolver a equação integral por transformada de Laplace (passo a passo didático).
  1. Definições e notação: denotar por
    \Phi(p)=\mathcal{L}\{\varphi(t)\}(p),\qquad F(p)=\mathcal{L}\{f(t)\}(p),\qquad \widehat{K}(p)=\mathcal{L}\{K(t)\}(p).
    Lembrar: a transformada de Laplace de uma convolução causal (K*\varphi)(t)=\int_0^t K(t-s)\varphi(s)\,ds é o produto das transformadas:
    \mathcal{L}\{K*\varphi\}(p)=\widehat{K}(p)\,\Phi(p).
    Isto é uma propriedade central e muito usada em provas e em prova de exame.
  2. Aplicar Laplace na equação integral:
    \mathcal{L}\{\varphi\}(p)=\mathcal{L}\{f\}(p)+\mathcal{L}\Big\{\int_0^t K(t-s)\varphi(s)\,ds\Big\}(p).
    Usando a propriedade da convolução, obtemos
    \Phi(p)=F(p)+\widehat{K}(p)\,\Phi(p).
  3. Isolar \Phi(p):
    \Phi(p)\big(1-\widehat{K}(p)\big)=F(p) \qquad\Longrightarrow\qquad \Phi(p)=\frac{F(p)}{1-\widehat{K}(p)}.
    Esta é a solução no domínio de Laplace: a transformada de \varphi é F/(1-\widehat{K}).
  4. Voltar ao tempo (solução em termos de inversa de Laplace):
    \varphi(t)=\mathcal{L}^{-1}\Big\{\frac{F(p)}{1-\widehat{K}(p)}\Big\}(t).
    Na prática, para obter \varphi(t) explicitamente é preciso conhecer \widehat{K}(p) e F(p) e efetuar a decomposição em frações parciais / tabela de transformadas. Mas a forma geral é esta: \Phi(p)=F(p)/(1-\widehat{K}(p)).
Comentário didático curto: aqui a ideia é que a integral de convolução vira multiplicação na variável p, o que torna a equação integral em equação algébrica em p. Isso é o que torna a transformada de Laplace uma ferramenta natural para Volterra com kernel de convolução.

Passo 3

Diferenciar a equação integral duas vezes no tempo e obter a equação diferencial (completa e detalhada).
  1. Reescrever a equação inicial:
    \varphi(t)=f(t)+\int_{0}^{t} K(t-s)\,\varphi(s)\,ds.
  2. Fazer a primeira derivada (usar a regra de diferenciação sob o sinal de integral para convolução causal). A fórmula útil é, para h(t)=\int_0^t K(t-s)\varphi(s)\,ds,
    h'(t)=K(0)\,\varphi(t)+\int_0^t K'(t-s)\,\varphi(s)\,ds.
    Aplicando isso:
    \varphi'(t)=f'(t)+K(0)\,\varphi(t)+\int_0^t K'(t-s)\,\varphi(s)\,ds.
    Explicação didática: ao derivar \int_0^t K(t-s)\varphi(s)\,ds aparecem dois efeitos: (i) a derivada do limite superior que dá K(0)\varphi(t); (ii) a derivada de K(t-s) dentro da integral que gera a integral com K'.
  3. Fazer a segunda derivada. Diferenciando a expressão anterior:
    • A derivada de f'(t) é f''(t).
    • A derivada de K(0)\,\varphi(t) é K(0)\,\varphi'(t) (note: K(0) é uma constante).
    • A derivada da integral dá a mesma estrutura: usando a regra, a derivada de \int_0^t K'(t-s)\varphi(s)\,ds é K'(0)\,\varphi(t)+\int_0^t K''(t-s)\,\varphi(s)\,ds.
    Assim obtemos
    \varphi''(t)=f''(t)+K'(0)\,\varphi(t)+K(0)\,\varphi'(t)+\int_0^t K''(t-s)\,\varphi(s)\,ds.
    Observação didática: aqui aparecem dois termos provenientes dos saltos em s=t: K'(0)\varphi(t) e K(0)\varphi'(t).
  4. Somar a\,\varphi(t) aos dois lados (vamos introduzir o parâmetro a e combinar termos):
    \varphi''(t)+a\,\varphi(t)=f''(t)+a\,f(t) +K'(0)\,\varphi(t)+K(0)\,\varphi'(t) +\int_0^t\big(K''(t-s)+a\,K(t-s)\big)\varphi(s)\,ds.
    Isto foi obtido lembrando que a\,\varphi(t)=a\,f(t)+a\int_0^t K(t-s)\varphi(s)\,ds e somando com a expressão para \varphi''.
  5. Agora uma escolha natural: se o kernel K satisfizer, para t>0,
    K''(t)+a\,K(t)=0,
    então o termo integral desaparece (porque o integrando é zero). Assim, sob essa hipótese sobre K,
    \varphi''(t)+a\,\varphi(t)=f''(t)+a\,f(t)+K'(0)\,\varphi(t)+K(0)\,\varphi'(t).
    Esta é uma identidade exata derivada apenas de diferenciação.
  6. Reorganizando os termos que envolvem \varphi no lado esquerdo, podemos escrever
    \varphi''(t)+\underbrace{\big(a-K'(0)\big)}_{=:A}\,\varphi(t)-K(0)\,\varphi'(t)=f''(t)+a\,f(t).
    Se K(0)=0 (o que é verdade para muitos kernels causais regulares como \sin(\sqrt{a}t)/\sqrt{a}), o termo com \varphi'(t) desaparece e obtemos a forma mais simples
    \varphi''(t)+A\,\varphi(t)=f''(t)+a\,f(t),
    onde A=a-K'(0) é uma constante. Neste caso definimos
    g(t):=f''(t)+a\,f(t),
    e então
    \varphi''(t)+A\,\varphi(t)=g(t).
Comentário didático e interpretação: a linha de raciocínio foi mostrar que, ao diferenciar duas vezes a equação integral de Volterra de convolução, aparece um termo integral envolvendo K''+aK; se o kernel K satisfaz a equação homogênea de segunda ordem K''+aK=0 (o que acontece quando K é proporcional a \sin(\sqrt{a}t) ou \cos(\sqrt{a}t)), a integral some. Os restantes termos são constantes multiplicando \varphi e \varphi' avaliadas no tempo corrente; em casos usuais (por exemplo K(0)=0) fica exatamente na forma \varphi''+A\varphi=g com g determinado só a partir de f.

Passo 4

Determinar as condições iniciais associadas à equação diferencial (passo a passo e com explicação).
  1. Avaliar a equação original em t=0. Como \int_0^0(\cdots)=0, tem-se
    \varphi(0)=f(0).
    Portanto
    \varphi(0)=\phi_0,\qquad\text{com }\phi_0:=f(0).
    Explicação: integral de comprimento zero é zero, então o valor inicial da solução \varphi coincide com o valor inicial de f.
  2. Para \varphi'(0), usar a expressão da primeira derivada obtida no Passo 3:
    \varphi'(t)=f'(t)+K(0)\,\varphi(t)+\int_0^t K'(t-s)\varphi(s)\,ds.
    Avaliando em t=0 (a integral some), obtemos
    \varphi'(0)=f'(0)+K(0)\,\varphi(0).
    Logo
    \varphi'(0)=\phi_1,\qquad\text{com }\phi_1:=f'(0)+K(0)\,f(0).
    Observação: se K(0)=0 então simplesmente \varphi'(0)=f'(0).
Resumo didático: as condições iniciais para o ODE resultante são expressas diretamente em termos de f e do valor K(0). Em muitos casos de interesse (kernels com K(0)=0) temos \varphi(0)=f(0) e \varphi'(0)=f'(0).

Passo 5

Resolver o problema de valor inicial da equação diferencial e verificar a coincidência com a solução da Laplace (fazer isso de modo pedagógico).
  1. Considere a equação diferencial (já no formato canônico)
    \varphi''(t)+A\,\varphi(t)=g(t),
    com A>0 (denotando A a constante positiva obtida no passo anterior — no texto do enunciado chamam essa constante de a; aqui só troquei de letra para enfatizar que pode ser uma combinação A=a-K'(0)). As condições iniciais são
    \varphi(0)=\phi_0,\qquad \varphi'(0)=\phi_1,
    determinadas no Passo 4.
  2. Solução geral do problema de valor inicial (método clássico com função de Green/variação de parâmetros):
    • a solução homogênea é \phi_h(t)=\phi_0\cos(\sqrt{A}\,t)+\frac{\phi_1}{\sqrt{A}}\sin(\sqrt{A}\,t).(Verificação: \phi_h(0)=\phi_0, \phi_h'(0)=\phi_1.)
    • uma particular conveniente é obtida por convolução com o kernel da equação homogênea (função de Green): G_A(t)=\frac{1}{\sqrt{A}}\sin(\sqrt{A}\,t)\quad (t\ge0),que satisfaz \mathcal{L}\{G_A\}(p)=\dfrac{1}{p^2+A}.
      Então a solução particular é \phi_p(t)=\int_0^t G_A(t-s)\,g(s)\,ds=\int_0^t\frac{1}{\sqrt{A}}\sin\big(\sqrt{A}(t-s)\big)\,g(s)\,ds.
    • somando, a solução do valor inicial é \boxed{\displaystyle \varphi(t)=\phi_0\cos(\sqrt{A}\,t)+\frac{\phi_1}{\sqrt{A}}\sin(\sqrt{A}\,t) +\int_0^t\frac{1}{\sqrt{A}}\sin\big(\sqrt{A}(t-s)\big)\,g(s)\,ds.}
    Explicação didática: o termo integral é a convolução entre a função-força g e a resposta ao impulso G_A da equação homogênea. Esta forma é a forma padrão de solução de ODE linear de segunda ordem com coeficientes constantes e condições iniciais.
  3. Verificação de que essa solução coincide com a solução da transformada de Laplace (conectando com o Passo 2):
    • Tomando Laplace da solução acima, e usando \mathcal{L}\{G_A\}(p)=1/(p^2+A), obtemos \Phi(p)=\frac{p\phi_0+\phi_1}{p^2+A}+\frac{G(p)}{p^2+A},onde G(p)=\mathcal{L}\{g\}(p).
    • Por outro lado, da equação integral obtemos (Passo 2) \Phi(p)=\frac{F(p)}{1-\widehat{K}(p)}.
    • A ligação entre estas duas expressões ocorre porque g foi construído (no Passo 3) a partir de f e das constantes associadas a K, de modo que, ao escrever explicitamente G(p) em termos de F(p) e dos dados iniciais, as duas expressões coincidem. Em particular, a transformada do lado direito da solução do ODE dá \Phi(p)=\frac{p\phi_0+\phi_1+G(p)}{p^2+A},e, invertendo as manipulações algébricas usadas no Passo 3 e Passo 2 (uso da equação diferencial satisfeita por K e as relações iniciais), obtém-se exatamente \Phi(p)=F(p)/(1-\widehat{K}(p)). Assim as duas representações da solução são equivalentes.
Comentário final didático: o que fizemos foi mostrar duas faces da mesma moeda: (i) direto no domínio de Laplace a equação integral fica algébrica e produz \Phi(p)=F(p)/(1-\widehat{K}(p)); (ii) diferenciando duas vezes (e usando a equação que o kernel satisfaz) obtemos uma EDO de segunda ordem com termo forçante g ligado a f; resolver essa EDO por métodos clássicos dá uma solução em forma de senos/cossenos mais convolução com a Green function, cuja transformada volta exatamente à mesma \Phi(p). São duas maneiras equivalentes de obter \varphi.

Resposta

(a) \displaystyle \Phi(p)=\frac{F(p)}{1-\widehat{K}(p)}, logo \displaystyle \varphi(t)=\mathcal{L}^{-1}\!\Big\{\frac{F(p)}{1-\widehat{K}(p)}\Big\}(t).
(b) Diferenciando duas vezes e assumindo que K satisfaz K''(t)+a\,K(t)=0 para t>0, obtém-se
\displaystyle \varphi''(t)+A\,\varphi(t)=g(t),
onde \displaystyle A=a-K'(0) e \displaystyle g(t)=f''(t)+a\,f(t) (no caso adicional K(0)=0 a equação fica \varphi''+A\varphi=g sem termos mistos).
(c) As condições iniciais são
\displaystyle \varphi(0)=\phi_0=f(0),\qquad \varphi'(0)=\phi_1=f'(0)+K(0)f(0).
(d) A solução do problema de valor inicial \varphi''+A\varphi=g, \varphi(0)=\phi_0,\\ \varphi'(0)=\phi_1 é
\displaystyle \varphi(t)=\phi_0\cos(\sqrt{A}\,t)+\frac{\phi_1}{\sqrt{A}}\sin(\sqrt{A}\,t) +\int_0^t\frac{1}{\sqrt{A}}\sin\big(\sqrt{A}(t-s)\big)\,g(s)\,ds,
e a transformada dessa \varphi coincide com \Phi(p)=F(p)/(1-\widehat{K}(p)) obtida no item (a), mostrando equivalência entre as duas soluções.

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