\varphi(t)=f(t)+\int_{0}^{t} K(t-s) \varphi(s) d s
(a) Resolva a equação integral (1) utilizando a transformada de Laplace.
(b) Diferenciando a equação (1) duas vezes, mostre que \varphi(t) satisfaz a equação diferencial
\varphi^{\prime \prime}(t)+a \varphi(t)=g(t)
em que a é uma constante positiva e g(t) é determinada a partir de f(t).
(c) Mostre, também, que as condições iniciais associadas à equação diferencial do item (b) são
onde \phi_{0} e \phi_{1} são constantes apropriadas.
(d) Resolva o problema de valor inicial do item (b) e verifique que a solução obtida coincide com aquela encontrada no item (a).
Passo 1
O enunciado dá a equação integral de Volterra (de convolução)
(a) resolver a equação integral usando transformada de Laplace;
(b) diferenciando duas vezes a equação, mostrar que \varphi(t) satisfaz uma equação diferencial da forma\varphi''(t)+a\,\varphi(t)=g(t),em que a>0 é uma constante e g(t) é determinada a partir de f(t);
(c) mostrar quais são as condições iniciais associadas à equação diferencial (isto é, expressar \varphi(0) e \varphi'(0) em termos de dados do problema);
(d) resolver o problema de valor inicial do item (b) e verificar que essa solução coincide com a obtida em (a).
Informações relevantes que o enunciado fornece:
A função K é o kernel dependente de t-s (convolução causal de 0 a t).
As funções envolvidas f(t),\varphi(t),K(t) são tais que as transformadas de Laplace existem e as derivadas necessárias podem ser trocadas com a integral (ou seja, hipóteses usuais de regularidade para manipular as derivadas do termo integral).
Não há valores numéricos dados; o que se pede é uma solução em termos de transformadas e das funções f e K.
Passo 2
Resolver a equação integral por transformada de Laplace (passo a passo didático).
Na prática, para obter \varphi(t) explicitamente é preciso conhecer \widehat{K}(p) e F(p) e efetuar a decomposição em frações parciais / tabela de transformadas. Mas a forma geral é esta: \Phi(p)=F(p)/(1-\widehat{K}(p)).
Comentário didático curto: aqui a ideia é que a integral de convolução vira multiplicação na variável p, o que torna a equação integral em equação algébrica em p. Isso é o que torna a transformada de Laplace uma ferramenta natural para Volterra com kernel de convolução.
Passo 3
Diferenciar a equação integral duas vezes no tempo e obter a equação diferencial (completa e detalhada).
Fazer a primeira derivada (usar a regra de diferenciação sob o sinal de integral para convolução causal). A fórmula útil é, para h(t)=\int_0^t K(t-s)\varphi(s)\,ds,
Explicação didática: ao derivar \int_0^t K(t-s)\varphi(s)\,ds aparecem dois efeitos: (i) a derivada do limite superior que dá K(0)\varphi(t); (ii) a derivada de K(t-s) dentro da integral que gera a integral com K'.
Fazer a segunda derivada. Diferenciando a expressão anterior:
A derivada de f'(t) é f''(t).
A derivada de K(0)\,\varphi(t) é K(0)\,\varphi'(t) (note: K(0) é uma constante).
A derivada da integral dá a mesma estrutura: usando a regra, a derivada de \int_0^t K'(t-s)\varphi(s)\,ds éK'(0)\,\varphi(t)+\int_0^t K''(t-s)\,\varphi(s)\,ds.
Se K(0)=0 (o que é verdade para muitos kernels causais regulares como \sin(\sqrt{a}t)/\sqrt{a}), o termo com \varphi'(t) desaparece e obtemos a forma mais simples
\varphi''(t)+A\,\varphi(t)=f''(t)+a\,f(t),
onde A=a-K'(0) é uma constante. Neste caso definimos
g(t):=f''(t)+a\,f(t),
e então
\varphi''(t)+A\,\varphi(t)=g(t).
Comentário didático e interpretação: a linha de raciocínio foi mostrar que, ao diferenciar duas vezes a equação integral de Volterra de convolução, aparece um termo integral envolvendo K''+aK; se o kernel K satisfaz a equação homogênea de segunda ordem K''+aK=0 (o que acontece quando K é proporcional a \sin(\sqrt{a}t) ou \cos(\sqrt{a}t)), a integral some. Os restantes termos são constantes multiplicando \varphi e \varphi' avaliadas no tempo corrente; em casos usuais (por exemplo K(0)=0) fica exatamente na forma \varphi''+A\varphi=g com g determinado só a partir de f.
Passo 4
Determinar as condições iniciais associadas à equação diferencial (passo a passo e com explicação).
Avaliar a equação original em t=0. Como \int_0^0(\cdots)=0, tem-se
\varphi(0)=f(0).
Portanto
\varphi(0)=\phi_0,\qquad\text{com }\phi_0:=f(0).
Explicação: integral de comprimento zero é zero, então o valor inicial da solução \varphi coincide com o valor inicial de f.
Para \varphi'(0), usar a expressão da primeira derivada obtida no Passo 3:
Observação: se K(0)=0 então simplesmente \varphi'(0)=f'(0).
Resumo didático: as condições iniciais para o ODE resultante são expressas diretamente em termos de f e do valor K(0). Em muitos casos de interesse (kernels com K(0)=0) temos \varphi(0)=f(0) e \varphi'(0)=f'(0).
Passo 5
Resolver o problema de valor inicial da equação diferencial e verificar a coincidência com a solução da Laplace (fazer isso de modo pedagógico).
Considere a equação diferencial (já no formato canônico)
\varphi''(t)+A\,\varphi(t)=g(t),
com A>0 (denotando A a constante positiva obtida no passo anterior — no texto do enunciado chamam essa constante de a; aqui só troquei de letra para enfatizar que pode ser uma combinação A=a-K'(0)). As condições iniciais são
\varphi(0)=\phi_0,\qquad \varphi'(0)=\phi_1,
determinadas no Passo 4.
Solução geral do problema de valor inicial (método clássico com função de Green/variação de parâmetros):
a solução homogênea é\phi_h(t)=\phi_0\cos(\sqrt{A}\,t)+\frac{\phi_1}{\sqrt{A}}\sin(\sqrt{A}\,t).(Verificação: \phi_h(0)=\phi_0, \phi_h'(0)=\phi_1.)
uma particular conveniente é obtida por convolução com o kernel da equação homogênea (função de Green):G_A(t)=\frac{1}{\sqrt{A}}\sin(\sqrt{A}\,t)\quad (t\ge0),que satisfaz \mathcal{L}\{G_A\}(p)=\dfrac{1}{p^2+A}.
Então a solução particular é\phi_p(t)=\int_0^t G_A(t-s)\,g(s)\,ds=\int_0^t\frac{1}{\sqrt{A}}\sin\big(\sqrt{A}(t-s)\big)\,g(s)\,ds.
somando, a solução do valor inicial é\boxed{\displaystyle \varphi(t)=\phi_0\cos(\sqrt{A}\,t)+\frac{\phi_1}{\sqrt{A}}\sin(\sqrt{A}\,t) +\int_0^t\frac{1}{\sqrt{A}}\sin\big(\sqrt{A}(t-s)\big)\,g(s)\,ds.}
Explicação didática: o termo integral é a convolução entre a função-força g e a resposta ao impulso G_A da equação homogênea. Esta forma é a forma padrão de solução de ODE linear de segunda ordem com coeficientes constantes e condições iniciais.
Verificação de que essa solução coincide com a solução da transformada de Laplace (conectando com o Passo 2):
Tomando Laplace da solução acima, e usando \mathcal{L}\{G_A\}(p)=1/(p^2+A), obtemos\Phi(p)=\frac{p\phi_0+\phi_1}{p^2+A}+\frac{G(p)}{p^2+A},onde G(p)=\mathcal{L}\{g\}(p).
Por outro lado, da equação integral obtemos (Passo 2)\Phi(p)=\frac{F(p)}{1-\widehat{K}(p)}.
A ligação entre estas duas expressões ocorre porque g foi construído (no Passo 3) a partir de f e das constantes associadas a K, de modo que, ao escrever explicitamente G(p) em termos de F(p) e dos dados iniciais, as duas expressões coincidem. Em particular, a transformada do lado direito da solução do ODE dá\Phi(p)=\frac{p\phi_0+\phi_1+G(p)}{p^2+A},e, invertendo as manipulações algébricas usadas no Passo 3 e Passo 2 (uso da equação diferencial satisfeita por K e as relações iniciais), obtém-se exatamente \Phi(p)=F(p)/(1-\widehat{K}(p)). Assim as duas representações da solução são equivalentes.
Comentário final didático: o que fizemos foi mostrar duas faces da mesma moeda: (i) direto no domínio de Laplace a equação integral fica algébrica e produz \Phi(p)=F(p)/(1-\widehat{K}(p)); (ii) diferenciando duas vezes (e usando a equação que o kernel satisfaz) obtemos uma EDO de segunda ordem com termo forçante g ligado a f; resolver essa EDO por métodos clássicos dá uma solução em forma de senos/cossenos mais convolução com a Green function, cuja transformada volta exatamente à mesma \Phi(p). São duas maneiras equivalentes de obter \varphi.
Resposta
(a) \displaystyle \Phi(p)=\frac{F(p)}{1-\widehat{K}(p)}, logo \displaystyle \varphi(t)=\mathcal{L}^{-1}\!\Big\{\frac{F(p)}{1-\widehat{K}(p)}\Big\}(t).
(b) Diferenciando duas vezes e assumindo que K satisfaz K''(t)+a\,K(t)=0 para t>0, obtém-se \displaystyle \varphi''(t)+A\,\varphi(t)=g(t),
onde \displaystyle A=a-K'(0) e \displaystyle g(t)=f''(t)+a\,f(t) (no caso adicional K(0)=0 a equação fica \varphi''+A\varphi=g sem termos mistos).
(c) As condições iniciais são \displaystyle \varphi(0)=\phi_0=f(0),\qquad \varphi'(0)=\phi_1=f'(0)+K(0)f(0).
(d) A solução do problema de valor inicial \varphi''+A\varphi=g, \varphi(0)=\phi_0,\\ \varphi'(0)=\phi_1 é