- Considere a equação de Laplace no retângulo
.
(a) Achar a solução
da equação de Laplace em
que também obedece as condições de contorno
Sugestão: Considerar a possibilidade de somar as soluções de dois problemas, um com as condições de contorno homogêneas exceto
, e o outro com as condições de contorno homogêneas, exceto
.
(b) Ache a solução se
e
.
(a) Achar a solução
(b) Ache a solução se
Passo 1
O enunciado pede a solução
da equação de Laplace
no retângulo
sujeita às condições de contorno
O conteúdo principal é separação de variáveis e superposição de soluções. Vamos escrever
onde
resolve o problema com
e
, e
resolve o problema com
e
.
Passo 2
Analisando
, impomos
Pela separação de variáveis, procuramos modos
. O problema em
é
cuja família de autovalores é
e autovetores
. Para cada
,
satisfaz
A solução geral é
, normalizada de modo que
. Logo
onde os coeficientes
vêm da série de Fourier de
em senos:
Passo 3
Agora
satisfaz
Pela separação, para cada
tomamos o modo
(pois
) e procuramos
satisfazendo
A solução é
, normalizada para
. Assim
com
Passo 4
Combinando, a solução geral do problema é
com
e
dados pelas integrais acima.
Passo 5
Para o caso específico
e
, calculamos os coeficientes:
Logo, a solução é