1. Considere a equação de Laplace no retângulo R=(x, y) in R^2 ; 0<x<a, 0<y<b,.
    (a) Achar a solução u(x, y) da equação de Laplace em R que também obedece as condições de contorno
& u(0, y)=0, u(a, y)=f(y), 0<y<b & u(x, 0)=h(x), u(x, b)=0, 0<x<a
Sugestão: Considerar a possibilidade de somar as soluções de dois problemas, um com as condições de contorno homogêneas exceto u(a, y)=f(y), e o outro com as condições de contorno homogêneas, exceto u(x, 0)=h(x).
(b) Ache a solução se h(x)=x4 e f(y)=1-y2.

Passo 1

O enunciado pede a solução u(x,y) da equação de Laplace
uxx+uyy=0
no retângulo 0<x<a,;0<y<b sujeita às condições de contorno
u(0,y)=0, u(a,y)=f(y), u(x,0)=h(x), u(x,b)=0
O conteúdo principal é separação de variáveis e superposição de soluções. Vamos escrever
u(x,y)=v(x,y)+w(x,y),
onde v resolve o problema com v(0,y)=v(a,y)=v(x,b)=0 e v(x,0)=h(x), e w resolve o problema com w(0,y)=w(x,0)=w(x,b)=0 e w(a,y)=f(y).

Passo 2

Analisando v, impomos
vxx+vyy=0, v(0,y)=v(a,y)=0, v(x,b)=0, v(x,0)=h(x)
Pela separação de variáveis, procuramos modos X(x)Y(y). O problema em x é
X''+lambda X=0, X(0)=X(a)=0,
cuja família de autovalores é lambdan=(npi/a)^2 e autovetores Xn(x)=sin(npi x/a). Para cada n, Yn(y) satisfaz
Y''-(npi/a)^2Y=0, Yn(b)=0
A solução geral é Yn(y)=Ansinhl((b-y)npi/ar), normalizada de modo que Yn(0)=sinh(npi b/a). Logo
v(x,y)=sumn=1^inftyBnsin!l(npi x/ar),sinh!l(npi(b-y)/ar)sinh!l(npi b/ar),
onde os coeficientes Bn vêm da série de Fourier de h(x) em senos:
h(x)=sumn=1^infty Bnsin!l(npi x/ar), Bn=2aintegral0^ah(x)sin!l(npi x/ar),dx

Passo 3

Agora w satisfaz
wxx+wyy=0, w(0,y)=w(x,0)=w(x,b)=0, w(a,y)=f(y)
Pela separação, para cada n tomamos o modo Yn(y)=sin(npi y/b) (pois Yn(0)=Yn(b)=0) e procuramos Xn(x) satisfazendo
X''-(npi/b)^2X=0, Xn(0)=0
A solução é Xn(x)=sinh!l(npi x/br), normalizada para Xn(a)=sinh(npi a/b). Assim
w(x,y)=sumn=1^infty Cn,sinh!l(npi x/br)sinh!l(npi a/br)sin!l(npi y/br),
com
f(y)=sumn=1^infty Cnsin!l(npi y/br), Cn=2bintegral0^bf(y)sin!l(npi y/br),dy

Passo 4

Combinando, a solução geral do problema é
u(x,y) =sumn=1^inftyBnsin!l(npi x/ar),sinh!l(npi(b-y)/ar)sinh!l(npi b/ar) +sumn=1^infty Cn,sinh!l(npi x/br)sinh!l(npi a/br)sin!l(npi y/br),
com Bn e Cn dados pelas integrais acima.

Passo 5

Para o caso específico h(x)=tfracx4 e f(y)=1-tfracy2, calculamos os coeficientes:
  1. Bn=2aintegral0^ax4sin!l(npi x/ar),dx =(-1)^,n+1a2,npi
  2. Cn=2bintegral0^bl(1-tfracy2r)sin!l(npi y/br),dy =2npil(1-(-1)^nr)+bnpi(-1)^n
Logo, a solução é
u(x,y) =sumn=1^infty(-1)^n+1a2npisin!l(tfracnpi xar) sinh!l(tfracnpi(b-y)ar)sinh!l(tfracnpi bar) +sumn=1^inftyl[2npi(1-(-1)^n)+bnpi(-1)^nr] sinh!l(tfracnpi xbr)sinh!l(tfracnpi abr) sin!l(tfracnpi ybr)

Resposta

boxed u(x,y) =sumn=1^infty(-1)^n+1a2npisin!l(tfracnpi xar) sinh!l(tfracnpi(b-y)ar)sinh!l(tfracnpi bar) +sumn=1^inftyl[2npi(1-(-1)^n)+bnpi(-1)^nr] sinh!l(tfracnpi xbr)sinh!l(tfracnpi abr) sin!l(tfracnpi ybr)

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