Um fio de comprimento
inicialmente em repouso está estendido na horizontal. Seu movimento vertical subsequente é causado pela força da gravidade de intensidade
. Supondo que o eixo
positivo para cima a equação do movimento (equação da onda) é
Observação: Procure a solução como soma de uma solução em regime estacionário
mais uma solução transiente
. Ou seja, solução
da forma
Mostre que a solução do tipo D’Alembert é
Passo 1
O enunciado nos dá a equação da onda com força gravitacional
com condições de contorno
e condições iniciais
A dica é decompor a solução em regime estacionário
mais uma parte transiente
, ou seja
Passo 2
Para achar
fazemos
e obtemos a equação ordinária
com
e
. Integrando duas vezes:
Como
dá
e
dá
, logo
. Assim
Passo 3
Definindo
,
temos
temos
Substituindo na PDE original:
pois
. As condições de contorno e iniciais viram
Logo
satisfaz a onda homogênea com deslocamento inicial
e velocidade inicial zero.
Passo 4
Pela fórmula de D’Alembert no domínio inteiro (sem forçar reflexões), a solução de
é
Portanto, voltando a
, obtemos