Um fio de comprimento L=1 inicialmente em repouso está estendido na horizontal. Seu movimento vertical subsequente é causado pela força da gravidade de intensidade g. Supondo que o eixo y positivo para cima a equação do movimento (equação da onda) é
yt t(x, t) & =c^2 yx x(x, t)-g, se 0<x<1 y(0, t) & =0=y(1, t), se t >= 0 y(x, 0) & =0=yt(x, 0), se 0 <= x <= 1
Observação: Procure a solução como soma de uma solução em regime estacionário v(x) mais uma solução transiente u(x, t). Ou seja, solução y(x, t) da forma
y(x, t)=u(x, t)+v(x)
Mostre que a solução do tipo D’Alembert é
u(x, t) & =v(x)-12[v(x-c t)+v(x+c t)] v(x) & =g2 c^2 x(1-x)

Passo 1

O enunciado nos dá a equação da onda com força gravitacional
yt t(x,t)=c^2yx x(x,t)-g, 0<x<1,
com condições de contorno
y(0,t)=0=y(1,t),
e condições iniciais
y(x,0)=0, yt(x,0)=0
A dica é decompor a solução em regime estacionário v(x) mais uma parte transiente u(x,t), ou seja
y(x,t)=u(x,t)+v(x)

Passo 2

Para achar v(x) fazemos yt t=0 e obtemos a equação ordinária
0 = c^2v''(x)-g Longrightarrow v''(x)=gc^2,
com v(0)=0 e v(1)=0. Integrando duas vezes:
v'(x)=gc^2x+C1, v(x)=g2c^2x^2+C1x+C2
Como v(0)=0 C2=0 e v(1)=0
tfracg2c^2+C1=0, logo C1=-tfracg2c^2. Assim
v(x) =g2c^2l(x^2-xr) =g2c^2,x(1-x)

Passo 3

Definindo
u(x,t)=y(x,t)-v(x),
temos
ut t=yt t, ux x=yx x-v''(x)
Substituindo na PDE original:
ut t =l(c^2yx x-gr) =c^2l(ux x+v''r)-g =c^2ux x
pois v''=g/c^2. As condições de contorno e iniciais viram
u(0,t)=0, u(1,t)=0, u(x,0)=-v(x), ut(x,0)=0
Logo u satisfaz a onda homogênea com deslocamento inicial -v(x) e velocidade inicial zero.

Passo 4

Pela fórmula de D’Alembert no domínio inteiro (sem forçar reflexões), a solução de
ut t=c^2ux x, u(x,0)=-v(x), ut(x,0)=0
é
u(x,t) =12l[u(x-c t,0)+u(x+c t,0)r] +12cintegralx-c t^,x+c t0,ds =-12l[v(x-c t)+v(x+c t)r]
Portanto, voltando a y=u+v, obtemos
y(x,t) =v(x)-12l[v(x-c t)+v(x+c t)r]

Resposta

u(x,t)=v(x)-tfrac12l[v(x-c t)+v(x+c t)r], v(x)=g2c^2,x(1-x)

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