ut t & =16 ux x,(x, t) in(0,2) times(0, infty), u(0, t) & =0=u(2, t), t >= 0, u(x, 0) & =6 sen(pi x)-3 sen(4 pi x), x in[0,2], ut(x, 0) & =0, x in[0,2]
Encontre a solução do problema de valores de fronteira e inicial seguinte
ut & =7 ux x, 0<x<pi e t>0 ux(0, t) & =0=ux(pi, t), t >= 0 u(x, 0) & =1-sen(x), 0 <= x <= pi
Considere o problema
ut t & =c^2 ux x, (x, t) in R^2, u(x, 0) & =sen(x) x in R, ut(x, 0) & =1, x in R,
onde c>0 é uma constante. Use a solução geral da equação da onda para obter uma solução em C^2(R^2).
11. Suponha que uma barra metálica de 20 cm de comprimento se encontra inicialmente a uma temperatura uniforme de 100 C. No instante t=0, as extremidades da barra são mergulhadas em um banho de gelo a 0 C e mantidas a esta temperatura, mas a superfície lateral e isolada para que nenhum calor possa escapar por ali. Encontre uma expressão para a temperatura em qualquer ponto da barra para t>0. Determine a temperatura no centro da barra no instante t=30 e se a barra for feita de (a) prata, (b) alumínio, (c) ferro fundido.
Passo 1
Questão
e sua solução em série de senos
Queremos mostrar que essa série é equivalente à fórmula de D’Alembert
once para .
Passo 2
Calculamos os coeficientes betan pela condição inicial em ut. Como
Usamos a identidade de séries de senos (ver fórmulas de somatório de senos em triângulos de seno) para reescrever
sumn=1^infty1nsin(nalpha)sin(nbeta) =tfrac12(alpha-beta) para 0<beta<alpha<pi,
e por extensão para a extensão ímpar gI. Após a aplicação desta identidade e cuidados com os limites de integração, encontra-se
uB(x,t) =12cintegralx-ct^,x+ctgI(u), du,
que é exatamente a fórmula de D’Alembert.
Resposta
Mostramos que os coeficientes betan=(2/(npi c))integral0^Lg(x)sin(npi x/L),dx e que, usando a identidade de somatório de senos, a série de Fourier se transforma na representação integral