1. Dado o problema da onda
P OB:l ut t=c^2 partial^2 upartial x^2, 0<x<L e t>0 u(0, t)=0=u(L, t), t>0 u(x, 0)=0,0 <= x <= L ut(x, 0)=g(x), 0 <= x <= L
usando a solução em Série de Fourier
uB(x, t)=sumn=1^infty betan sen(n pi xL) sen(n pi c tL)
mostre como obter a solução de D’Lambert
uB(x, t)=12 c integralx-c t^x+c t gI(u) d u
  1. Resolva os seguintes problemas de contorno pelo método da separação de variáveis de Fourier (Solução em Série de Fourier)
    (a)
ut & =ux x, 0<x<100, t>0 u(0, t) & =u(100, t)=0 u(x, 0) & =x(100-x)
(b)
ut t & =16 ux x,(x, t) in(0,2) times(0, infty), u(0, t) & =0=u(2, t), t >= 0, u(x, 0) & =6 sen(pi x)-3 sen(4 pi x), x in[0,2], ut(x, 0) & =0, x in[0,2]
  1. Encontre a solução do problema de valores de fronteira e inicial seguinte
ut & =7 ux x, 0<x<pi e t>0 ux(0, t) & =0=ux(pi, t), t >= 0 u(x, 0) & =1-sen(x), 0 <= x <= pi
  1. Considere o problema
ut t & =c^2 ux x, (x, t) in R^2, u(x, 0) & =sen(x) x in R, ut(x, 0) & =1, x in R,
onde c>0 é uma constante. Use a solução geral da equação da onda para obter uma solução em C^2(R^2).
11. Suponha que uma barra metálica de 20 cm de comprimento se encontra inicialmente a uma temperatura uniforme de 100 C. No instante t=0, as extremidades da barra são mergulhadas em um banho de gelo a 0 C e mantidas a esta temperatura, mas a superfície lateral e isolada para que nenhum calor possa escapar por ali. Encontre uma expressão para a temperatura em qualquer ponto da barra para t>0. Determine a temperatura no centro da barra no instante t=30 e se a barra for feita de (a) prata, (b) alumínio, (c) ferro fundido.

Passo 1

Questão
e sua solução em série de senos
Queremos mostrar que essa série é equivalente à fórmula de D’Alembert
once para .

Passo 2

Calculamos os coeficientes betan pela condição inicial em ut. Como
ut(x,0) =sumn=1^inftybetan,sin!l(tfracnpi xLr), npi cL
deve ser igual a g(x), fazemos projeção sobre sin!l(tfracmpi xLr):
integral0^Lg(x),sin!l(tfracmpi xLr), dx =sumn=1^inftybetan,npi cL integral0^Lsin!l(tfracnpi xLr) sin!l(tfracmpi xLr) dx
Pela ortogonalidade dos senos
integral0^Lsin(tfracnpi xL)sin(tfracmpi xL)dx=tfracL2de<amn,
segue
integral0^Lg(x)sin!l(tfracnpi xLr) dx =betan,npi cL,L2,
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betan =2npi cintegral0^Lg(x), sin!l(tfracnpi xLr) dx

Passo 3

Substituímos betan na série e obtemos
uB(x,t) =sumn=1^infty l[2npi c!integral0^Lg(s)sin!l(tfracnpi sLr) dsr] sin!l(tfracnpi xLr)sin!l(tfracnpi ctLr)
Trocamos soma e integral:
uB(x,t) =2pi cintegral0^Lg(s), sumn=1^infty1n sin!l(tfracnpi sLr) sin!l(tfracnpi xLr) sin!l(tfracnpi ctLr) ds

Passo 4

Usamos a identidade de séries de senos (ver fórmulas de somatório de senos em triângulos de seno) para reescrever
sumn=1^infty1nsin(nalpha)sin(nbeta) =tfrac12(alpha-beta) para 0<beta<alpha<pi,
e por extensão para a extensão ímpar gI. Após a aplicação desta identidade e cuidados com os limites de integração, encontra-se
uB(x,t) =12cintegralx-ct^,x+ctgI(u), du,
que é exatamente a fórmula de D’Alembert.

Resposta

Mostramos que os coeficientes betan=(2/(npi c))integral0^Lg(x)sin(npi x/L),dx e que, usando a identidade de somatório de senos, a série de Fourier se transforma na representação integral
uB(x,t) =12cintegralx-ct^,x+ctgI(u), du

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