Um fio de comprimento inicialmente em repouso está estendido na horizontal. Seu movimento vertical subsequente é causado pela força da gravidade de intensidade . Supondo que o eixo positivo para cima a equação do movimento (equação da onda) é
Observação: Procure a solução como soma de uma solução em regime estacionário mais uma solução transiente . Ou seja, solução da forma
Mostre que a solução a em série de Fourier desse problema é
Passo 1
O enunciado dá uma equação parabólica não homogênea para em com
sujeita a e . Aqui . Vamos escrever
onde é a solução estacionária (independente de ) e é a parte transiente homogênea.
Passo 2
Procuramos tal que
com e . Integrando duas vezes,
Impondo e obtemos e
Logo,
Reescrevendo com e tirando o sinal,
Passo 3
Definindo , substituímos na equação original e cancelamos a parte estacionária para obter o problema homogêneo
Passo 4
Aplicamos separação de variáveis: u(x,t)=X(x),T(t). Isso dá