Em seguida, determine a solução do P V C
ux-3 uy & =0 u(0, y) & =4 sen(y)

Passo 1

O enunciado nos dá a equação em derivadas parciais de primeira ordem
ux - 3uy &= 0, u(0,y) &= 4sin(y)
O conteúdo aqui é o método das características, que transforma a PDE em um sistema de equações ordinárias ao longo de curvas chamadas características.

Passo 2

Escrevemos o sistema característico
dx1 ;=;dy-3;=;du0
Da igualdade dx1=dy-3 vem
dydx=-3 Longrightarrow y+3x=C,
onde C é constante em cada característica. Como du0, concluímos que u é constante ao longo de y+3x=C, isto é,
u(x,y)=f(y+3x)

Passo 3

Para achar f, usamos a condição inicial em x=0:
u(0,y)=f(y)=4sin(y)
Portanto
f(s)=4sin(s)

Passo 4

Substituindo em u(x,y)=f(y+3x), obtemos
u(x,y)=4sin(y+3x),
e de fato
ux=12cos(y+3x), uy=4cos(y+3x) Longrightarrow ux-3uy=0

Resposta

u(x,y)=4sin(y+3x)

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