Considere a equação
a) Verifique se a equação é exata.
b) Encontre uma solução para a equação com condição inicial
.
a) Verifique se a equação é exata.
b) Encontre uma solução para a equação com condição inicial
Passo 1
O enunciado dá a diferencial
e pede:
a) verificar se é exata;
b) resolver (implicitamente) com a condição .
a) verificar se é exata;
b) resolver (implicitamente) com a condição
Para resolver, vamos primeiro checar a exatidão e, se não for exata, buscar um fator integrante simples.
Passo 2
Calcular as derivadas parciais
Como
em geral, concluímos que a equação não é exata.
Passo 3
Procuramos um fator integrante do tipo
ou
.
Para
teria que
ser função só de
, o que não ocorre.
Para
teria que
ser função só de
, o que também não ocorre.
Logo, não existe fator integrante puramente de
ou de
.
Passo 4
O próximo passo usual é testar um fator integrante homogêneo do tipo
.
Ao impor a condição de exatidão em
obtém–se um sistema de equações lineares em que não admite solução inteira.
Portanto, não há fator integrante monomial simples.
Ao impor a condição de exatidão em
obtém–se um sistema de equações lineares em
Portanto, não há fator integrante monomial simples.
Passo 5
Ainda é possível achar um fator integrante que dependa de
.
Se com
,
a condição de exatidão impõe
Se
a condição de exatidão impõe
o que depende de
e
separadamente, não só de
.
Portanto, também não funciona um .
Portanto, também não funciona um
Passo 6
Diante disso, concluímos que não há fator integrante elementar (função de
ou
isoladamente, nem monômio
, nem função de
) que torne a equação exata.
Ainda assim, podemos escrever a solução de forma implícita através de uma integração direta, reescrevendo a EDO como
É fácil verificar que essa equação é de grau zero em
(típica de substituição homogênea
), e a solução implícita final fica
Passo 7
Aplicando a condição inicial
:
Resposta
A solução implícita que satisfaz
é