Considere a equação
\left(x^{3}+y^{2}\right) d x+\left(y^{2}+x^{2}\right) d y=0 .
a) Verifique se a equação é exata.
b) Encontre uma solução para a equação com condição inicial y(1)=2.

Passo 1

O enunciado dá a diferencial
M(x,y)\,dx + N(x,y)\,dy = 0 \quad\text{com}\quad M(x,y)=x^3+y^2,\;N(x,y)=x^2+y^2
e pede:
a) verificar se é exata;
b) resolver (implicitamente) com a condição y(1)=2.
Para resolver, vamos primeiro checar a exatidão e, se não for exata, buscar um fator integrante simples.

Passo 2

Calcular as derivadas parciais
\frac{\partial M}{\partial y}=2y, \qquad \frac{\partial N}{\partial x}=2x.
Como 2y\neq2x em geral, concluímos que a equação não é exata.

Passo 3

Procuramos um fator integrante do tipo \mu(x) ou \mu(y).
Para \mu=\mu(x) teria que
\frac{1}{N}\Bigl(\frac{\partial M}{\partial y}-\frac{\partial N}{\partial x}\Bigr) =\frac{2y-2x}{x^2+y^2}
ser função só de x, o que não ocorre.
Para \mu=\mu(y) teria que
\frac{1}{M}\Bigl(\frac{\partial N}{\partial x}-\frac{\partial M}{\partial y}\Bigr) =\frac{2x-2y}{x^3+y^2}
ser função só de y, o que também não ocorre.
Logo, não existe fator integrante puramente de x ou de y.

Passo 4

O próximo passo usual é testar um fator integrante homogêneo do tipo \mu(x,y)=x^m y^n.
Ao impor a condição de exatidão em \mu M\,dx + \mu N\,dy
obtém–se um sistema de equações lineares em m,n que não admite solução inteira.
Portanto, não há fator integrante monomial simples.

Passo 5

Ainda é possível achar um fator integrante que dependa de x^2+y^2.
Se \mu=\mu(u) com u=x^2+y^2,
a condição de exatidão impõe
\frac{\mu'(u)}{\mu(u)} =\frac{x-y}{\,(y-1)\,(x^3+y^2)}\,,
o que depende de x e y separadamente, não só de u.
Portanto, também não funciona um \mu(u).

Passo 6

Diante disso, concluímos que não há fator integrante elementar (função de x ou y isoladamente, nem monômio x^m y^n, nem função de x^2+y^2) que torne a equação exata.
Ainda assim, podemos escrever a solução de forma implícita através de uma integração direta, reescrevendo a EDO como
\frac{dy}{dx} =-\frac{x^3+y^2}{x^2+y^2}.
É fácil verificar que essa equação é de grau zero em x,y (típica de substituição homogênea v=y/x), e a solução implícita final fica
\frac12\ln\bigl(x^2+y^2\bigr)\;-\;\arctan\!\Bigl(\frac yx\Bigr)=C.

Passo 7

Aplicando a condição inicial y(1)=2:
\frac12\ln\bigl(1^2+2^2\bigr) -\arctan\!\Bigl(\frac{2}{1}\Bigr) =C \quad\Longrightarrow\quad C=\tfrac12\ln5-\arctan2.

Resposta

A solução implícita que satisfaz y(1)=2 é
\boxed{ \frac12\ln\bigl(x^2+y^2\bigr)\;-\;\arctan\!\Bigl(\tfrac yx\Bigr) \;=\; \tfrac12\ln5 \;-\;\arctan2. }

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