Resolva os seguintes problemas de Cauchy.
  1. y^{\prime}=x^{2} y^{5} \operatorname{com} y(0)=0
  2. y^{\prime}=x y+x^{4} \operatorname{com} y(1)=1

Passo 1

O enunciado pede para resolver dois problemas de Cauchy de primeira ordem:
  1. \displaystyle y'=x^{2}y^{5} com y(0)=0.
  2. \displaystyle y'=x\,y+x^{4} com y(1)=1.
O conteúdo envolve equações separáveis (caso 1) e equações lineares de primeira ordem (caso 2).

Passo 2

Trata-se de uma equação separável no caso 1. Escrevemos
\frac{dy}{y^{5}}=x^{2}\,dx,
integramos ambos os lados:
\int \!y^{-5}dy=\int x^{2}dx \quad\Longrightarrow\quad -\frac{1}{4\,y^{4}}=\frac{x^{3}}{3}+C.
Daí,
y(x)=\Bigl(-4\bigl(\tfrac{x^{3}}{3}+C\bigr)\Bigr)^{-1/4}.
Porém, a condição inicial y(0)=0 só é satisfeita pela solução constante y(x)\equiv0. Pela unicidade, concluímos
\boxed{y(x)=0.}

Passo 3

No caso 2 temos uma equação linear da forma
y'-x\,y=x^{4}.
O fator integrante é
\mu(x)=\exp\Bigl(-\int x\,dx\Bigr) =\exp\Bigl(-\tfrac{x^{2}}{2}\Bigr).
Multiplicando a equação por \mu(x) obtemos
\frac{d}{dx}\bigl(y\,e^{-x^{2}/2}\bigr) = x^{4}\,e^{-x^{2}/2}.

Passo 4

Integramos em x:
y(x)\,e^{-x^{2}/2} =\int x^{4}e^{-x^{2}/2}\,dx + C.
Para acomodar a condição y(1)=1, usamos integral definida a partir de 1:
y(x)\,e^{-x^{2}/2} = C + \int_{1}^{x}t^{4}e^{-t^{2}/2}\,dt.

Passo 5

Impondo y(1)=1
1\cdot e^{-1/2} = C + 0 \quad\Longrightarrow\quad C=e^{-1/2}.
Logo a solução é
\boxed{y(x) = e^{\,x^{2}/2}\Bigl(e^{-1/2}+\int_{1}^{x}t^{4}e^{-t^{2}/2}\,dt\Bigr).}

Resposta

  1. \displaystyle y(x)=0.
  2. \displaystyle y(x)=e^{\,x^{2}/2}\Bigl(e^{-1/2}+\int_{1}^{x}t^{4}e^{-t^{2}/2}\,dt\Bigr).

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