Questão 3. Encontre uma solução para a equação diferencial de primeira ordem a seguir usando o método do fator integrante
x y d x+\left(x^{2}-y^{2}\right) d y=0 .

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial de primeira ordem
x\,y\,dx \;+\;\bigl(x^{2}-y^{2}\bigr)\,dy \;=\;0
e pede para resolver usando o método do fator integrante. Vamos identificar se ela é exata e, se não for, encontrar um fator integrante que dependa só de x ou só de y.

Passo 2

Escrevendo na forma M(x,y)\,dx+N(x,y)\,dy=0, temos
M(x,y)=x\,y, \quad N(x,y)=x^{2}-y^{2}.
Calculamos
\frac{\partial M}{\partial y}=x, \quad \frac{\partial N}{\partial x}=2x,
como x\neq2x, a equação não é exata.

Passo 3

Para buscar \mu função só de y, verificamos
\frac{\frac{\partial N}{\partial x}-\frac{\partial M}{\partial y}}{M} =\frac{2x - x}{x\,y} =\frac{1}{y},
que depende apenas de y. Logo
\mu(y) =\exp\!\Bigl(\int \tfrac{1}{y}\,dy\Bigr) =\exp(\ln|y|) =|y|,
e podemos tomar \mu(y)=y (considerando y\neq0).

Passo 4

Multiplicando a equação original por y, fica
x\,y^{2}\,dx+\bigl(y\,x^{2}-y^{3}\bigr)\,dy=0.
Agora
\frac{\partial}{\partial y}\bigl(x\,y^{2}\bigr)=2x\,y, \quad \frac{\partial}{\partial x}\bigl(y\,x^{2}-y^{3}\bigr)=2x\,y,
logo a equação é exata.

Passo 5

Procuramos \Phi(x,y) tal que
\frac{\partial \Phi}{\partial x}=x\,y^{2}.
Integrando em x:
\Phi(x,y) =\int x\,y^{2}\,dx =\tfrac12\,x^{2}y^{2}+h(y).

Passo 6

Derivando \Phi em relação a y e igualando a N(x,y)=y\,x^{2}-y^{3}:
\frac{\partial \Phi}{\partial y} =x^{2}y+h'(y) \stackrel{!}{=}y\,x^{2}-y^{3} \quad\Rightarrow\quad h'(y)=-y^{3} \quad\Rightarrow\quad h(y)=-\tfrac14\,y^{4}.
Assim
\Phi(x,y) =\tfrac12\,x^{2}y^{2}-\tfrac14\,y^{4},
e a solução geral implícita é
\Phi(x,y)=C.

Resposta

\tfrac12\,x^{2}y^{2}-\tfrac14\,y^{4}=C.

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