{ }^{2.0} Considere a equação
\left(2 x^{2} y+4 y^{2} x+4 y^{3}\right) \frac{d y}{d t}=x y^{2}.
(a) Mostre que a equação é homogênea.
(b) Resolva a equação.

Passo 1

O enunciado dá a equação
\bigl(2x^{2}y+4xy^{2}+4y^{3}\bigr)\,\frac{dy}{dx}=x\,y^{2},
pede (a) mostrar que ela é homogênea e (b) resolvê-la.
Conteúdo: equações de primeira ordem homogêneas em x,y. Vamos usar a definição de função homogênea e a substituição
y=x\,u(x).

Passo 2

Reescrevendo em forma padrão de ODE, temos
\frac{dy}{dx} =\frac{x\,y^{2}}{2x^{2}y+4xy^{2}+4y^{3}} =\frac{x\,y}{2\bigl(x^{2}+2xy+2y^{2}\bigr)}.
Chamemos a razão à direita de f(x,y). Note que, dividindo numerador e denominador por x^{2},
f(x,y) =\frac{\displaystyle \frac{y}{x}}{2\bigl(1+2\frac{y}{x}+2\bigl(\frac{y}{x}\bigr)^{2}\bigr)},
isto é, f(x,y)=F\!\bigl(u\bigr) onde u=y/x. Logo, a equação é homogênea de grau zero.

Passo 3

Fazendo a substituição
y=x\,u, \qquad \frac{dy}{dx} =u + x\,\frac{du}{dx},
a ODE torna-se
u + x\,\frac{du}{dx} =\frac{u}{2\bigl(1+2u+2u^{2}\bigr)}.

Passo 4

Isolando du/dx obtemos
x\,\frac{du}{dx} =\frac{u}{2(1+2u+2u^{2})}-u =\,-\,\frac{u\bigl(1+4u+4u^{2}\bigr)}{2\bigl(1+2u+2u^{2}\bigr)} =-\,\frac{u\,(2u+1)^{2}}{2\,(1+2u+2u^{2})}.
Portanto é separável:
\frac{1+2u+2u^{2}}{u\,(2u+1)^{2}}\,du =-\frac{1}{2}\,\frac{dx}{x}.

Passo 5

Integramos cada lado. No lado de u fazemos frações parciais sobre
\displaystyle \frac{1+2u+2u^{2}}{u\,(2u+1)^{2}},
chegando a
\int\frac{1+2u+2u^{2}}{u\,(2u+1)^{2}}\,du =\ln|u|-\tfrac12\ln|2u+1|+\frac{1}{2(2u+1)}+C_{1}.
O lado de x
-\tfrac12\int\frac{dx}{x} =-\tfrac12\ln|x|+C_{2}.
Juntando e absorvendo C_{1}-C_{2} em C,
\ln|u|-\tfrac12\ln|2u+1|+\frac{1}{2(2u+1)} =-\tfrac12\ln|x|+C.

Passo 6

Multiplicando por 2 e reunindo termos logarítmicos,
2\ln|u|-\ln|2u+1|+\ln|x|+\frac{1}{2u+1} =C' \quad\Longrightarrow\quad \ln\!\Bigl(\frac{u^{2}x}{2u+1}\Bigr) +\frac{1}{2u+1} =C'.
Voltando a u=y/x, temos
\frac{u^{2}x}{2u+1} =\frac{\bigl(\frac{y}{x}\bigr)^{2}x}{2\frac{y}{x}+1} =\frac{y^{2}/x}{(2y+x)/x} =\frac{y^{2}}{2y+x},
e
\frac{1}{2u+1} =\frac{x}{2y+x}.

Resposta

A solução implícita geral é
\boxed{ \ln\!\Bigl|\frac{y^{2}}{2y+x}\Bigr| \;+\;\frac{x}{2y+x} \;=\;C, }
com C constante arbitrária.

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