Considere a equação
.
(a) Mostre que a equação é homogênea.
(b) Resolva a equação.
(a) Mostre que a equação é homogênea.
(b) Resolva a equação.
Passo 1
O enunciado dá a equação
pede (a) mostrar que ela é homogênea e (b) resolvê-la.
Conteúdo: equações de primeira ordem homogêneas em . Vamos usar a definição de função homogênea e a substituição
Conteúdo: equações de primeira ordem homogêneas em
Passo 2
Reescrevendo em forma padrão de ODE, temos
Chamemos a razão à direita de
. Note que, dividindo numerador e denominador por
,
isto é,
onde
. Logo, a equação é homogênea de grau zero.
Passo 3
Fazendo a substituição
a ODE torna-se
Passo 4
Isolando
obtemos
Portanto é separável:
Passo 5
Integramos cada lado. No lado de
fazemos frações parciais sobre
,
chegando a
chegando a
O lado de
dá
Juntando e absorvendo
em
,
Passo 6
Multiplicando por
e reunindo termos logarítmicos,
Voltando a
, temos
e
Resposta
A solução implícita geral é
com
constante arbitrária.