{ }^{2.0} Use o método de coeficientes indeterminados para encontrar a solução geral da EDO y^{\prime \prime}+y^{\prime}-6 y=\operatorname{sen} t+t e^{2 t}.
Passo 1
O enunciado pede a solução geral da EDO
y'' + y' - 6y = \sin t + t e^{2t}
usando o método dos coeficientes indeterminados. Vamos primeiro obter a solução homogênea y_h resolvendo a equação associada, e depois construir duas soluções particulares separadas: uma para o termo \sin t e outra para o termo t e^{2t}.
Passo 2
Resolver a parte homogênea
y'' + y' - 6y = 0.
A equação característica é
r^2 + r - 6 = 0
cuja solução é
r = 2,\quad r = -3.
Logo a solução homogênea é
y_h(t) = C_1 e^{2t} + C_2 e^{-3t}.
Passo 3
Construir a solução particular para o termo \sin t\). Fazemos o “chute”
\[y_{p1}(t) = A\cos t + B\sin t.
Então
y_{p1}' = -A\sin t + B\cos t,
y_{p1}'' = -A\cos t - B\sin t.
Substituindo em y''+y'-6y=\sin t obtemos
(-A\cos t - B\sin t) +(-A\sin t + B\cos t)-6(A\cos t + B\sin t) =( -7A + B)\cos t +(-A -7B)\sin t.
Isso deve ser igual a 0\cos t +1\sin t, gerando o sistema
Da primeira equação (B=7A]. Substituindo na segunda: -\,A -7(7A)=1\;\Longrightarrow\;-50A=1\;\Longrightarrow\;A=-\tfrac1{50},\quad B=-\tfrac7{50}.
Portanto y_{p1}(t) = -\tfrac1{50}\cos t - \tfrac7{50}\sin t.
Passo 4
Construir a solução particular para o termo t e^{2t}. Como e^{2t} já aparece em y_h, multiplicamos por t um polinômio de grau 1: