{ }^{2.0} Use o método de coeficientes indeterminados para encontrar a solução geral da EDO y^{\prime \prime}+y^{\prime}-6 y=\operatorname{sen} t+t e^{2 t}.

Passo 1

O enunciado pede a solução geral da EDO
y'' + y' - 6y = \sin t + t e^{2t}
usando o método dos coeficientes indeterminados. Vamos primeiro obter a solução homogênea y_h resolvendo a equação associada, e depois construir duas soluções particulares separadas: uma para o termo \sin t e outra para o termo t e^{2t}.

Passo 2

Resolver a parte homogênea
y'' + y' - 6y = 0.
A equação característica é
r^2 + r - 6 = 0
cuja solução é
r = 2,\quad r = -3.
Logo a solução homogênea é
y_h(t) = C_1 e^{2t} + C_2 e^{-3t}.

Passo 3

Construir a solução particular para o termo \sin t\). Fazemos o “chute” \[y_{p1}(t) = A\cos t + B\sin t.
Então
y_{p1}' = -A\sin t + B\cos t,
y_{p1}'' = -A\cos t - B\sin t.
Substituindo em y''+y'-6y=\sin t obtemos
(-A\cos t - B\sin t) +(-A\sin t + B\cos t)-6(A\cos t + B\sin t) =( -7A + B)\cos t +(-A -7B)\sin t.
Isso deve ser igual a 0\cos t +1\sin t, gerando o sistema
\begin{cases} -7A + B = 0,\\\\ -\,A - 7B = 1. \end{cases}
Da primeira equação (B=7A]. Substituindo na segunda:
-\,A -7(7A)=1\;\Longrightarrow\;-50A=1\;\Longrightarrow\;A=-\tfrac1{50},\quad B=-\tfrac7{50}.
Portanto
y_{p1}(t) = -\tfrac1{50}\cos t - \tfrac7{50}\sin t.

Passo 4

Construir a solução particular para o termo t e^{2t}. Como e^{2t} já aparece em y_h, multiplicamos por t um polinômio de grau 1:
y_{p2}(t) = e^{2t}\bigl(Ct^2 + D\,t\bigr).
Defina u(t)=Ct^2+Dt. Então
y_{p2} = u\,e^{2t},\quad y'_{p2}=(u'+2u)e^{2t},\quad y''_{p2}=(u''+4u'+4u)e^{2t}.
Logo
y''_{p2}+y'_{p2}-6y_{p2} =[u''+4u'+4u + u'+2u -6u]\,e^{2t} =(u''+5u')\,e^{2t}.
Como u'=2Ct+D e u''=2C, segue
u''+5u' = 2C + 5(2Ct + D) = 10C\,t + (2C+5D)
que deve ser igual a t. Então
10C = 1,\quad 2C + 5D = 0 \;\Longrightarrow\; C = \tfrac1{10},\quad D = -\tfrac1{25}.
Assim
y_{p2}(t) = e^{2t}\Bigl(\tfrac1{10}t^2 - \tfrac1{25}t\Bigr).

Passo 5

A solução geral é a soma da homogênea com as particulares:
y(t) = y_h(t) + y_{p1}(t) + y_{p2}(t).

Resposta

y(t) = C_1 e^{2t} + C_2 e^{-3t} \;-\;\tfrac1{50}\cos t - \tfrac7{50}\sin t \;+\;e^{2t}\Bigl(\tfrac1{10}t^2 - \tfrac1{25}t\Bigr).

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