Determine o fluxo do campo \vec{F}, através da porção da esfera x^{2}+y^{2}+z^{2}=a^{2} no primeiro octante, com normal exterior \vec{n}. Sendo dados:
\vec{F}(x, y, z)=y \cdot \vec{i}-x \vec{j}+\vec{k}

Passo 1

O enunciado pede o fluxo do campo \r
\vec{F}(x,y,z)=y\,\vec{i}-x\,\vec{j}+\vec{k} \r
através da porção da esfera x^{2}+y^{2}+z^{2}=a^{2} no primeiro octante, com normal exterior \vec{n}. Vamos usar a fórmula do fluxo \r
\Phi=\iint_{S}\vec{F}\cdot\vec{n}\,dS \r
e parametrizar em coordenadas esféricas.

Passo 2

Para a esfera de raio a, a normal unitária externa é \r
\vec{n}=\frac{(x,y,z)}{a}. \r
Assim \r
\vec{F}\cdot\vec{n}\r =\bigl(y,-x,1\bigr)\cdot\frac{(x,y,z)}{a}\r =\frac{xy-xy+z}{a}\r =\frac{z}{a}.

Passo 3

Logo o fluxo fica \r
\Phi=\iint_{S}\frac{z}{a}\,dS=\frac1a\iint_{S}z\,dS. \r
Em coordenadas esféricas fixamos r=a, o que dá \r
\theta\in[0,\tfrac\pi2], \varphi\in[0,\tfrac\pi2], \r
z=a\cos\varphi, \quad dS=a^2\sin\varphi\,d\varphi\,d\theta.

Passo 4

Substituindo na integral,
\Phi =\frac{1}{a} \int_{0}^{\pi/2}\!\!\int_{0}^{\pi/2} \bigl(a\cos\varphi\bigr)\bigl(a^2\sin\varphi\bigr) \,d\varphi\,d\theta =a^2 \int_{0}^{\pi/2}\!\!\int_{0}^{\pi/2} \cos\varphi\sin\varphi\,d\varphi\,d\theta.

Passo 5

Calculamos em dois passos:
\int_{0}^{\pi/2}\cos\varphi\sin\varphi\,d\varphi =\frac12, \quad \int_{0}^{\pi/2}d\theta =\frac{\pi}{2}.
Portanto
\Phi =a^2\cdot\frac12\cdot\frac{\pi}{2} =\frac{\pi a^2}{4}.

Resposta

\Phi=\frac{\pi a^2}{4}.

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