Considere a equação:
\left(y+2 x y^{3}\right) d x+\left(1+3 x^{2} y^{2}+x\right) d y=0
(a) Classifique a equação quanto a ordem e linearidade.
(b) Determine se a equação é exata. Justifique sua resposta.
(c) Encontre a família de soluções da equação dada.

Passo 1

O enunciado nos dá a equação diferencial em forma diferencial exata potencial
M(x,y)\,dx + N(x,y)\,dy = 0
com
M(x,y)=y + 2xy^{3}, \qquad N(x,y)=1 + 3x^{2}y^{2} + x.
Pede-se (a) classificação em ordem e linearidade, (b) verificar se é exata, e (c) encontrar a família geral de soluções. Precisaremos de derivadas parciais e, se a equação for exata, de um potencial \Phi(x,y) tal que \Phi_x=M e \Phi_y=N.

Passo 2

Classificação: como só aparece dy e dx em primeira potência, a equação é de primeira ordem. Para ver se é linear em y, escrevemos
\frac{dy}{dx}=-\frac{M(x,y)}{N(x,y)} =-\frac{y+2x y^3}{1+3x^2y^2+x},
e vemos termos como y^3 e y^2. Logo não é linear (pois em uma equação linear em y só apareceriam y e termos independentes).

Passo 3

Para testar exatidão, calculamos as derivadas parciais
\frac{\partial M}{\partial y} =1 + 6xy^2, \qquad \frac{\partial N}{\partial x} =1 + 6xy^2.
Como \partial M/\partial y = \partial N/\partial x, a equação é exata.

Passo 4

Por exatidão, existe \Phi(x,y) tal que
\Phi_x(x,y)=M(x,y)=y+2xy^3.
Integramos em x:
\Phi(x,y)=\int\bigl(y+2xy^3\bigr)\,dx =xy + x^2y^3 + h(y),
onde h(y) é função de y a determinar.

Passo 5

Impondo \Phi_y=N(x,y), calculamos
\Phi_y = x + 3x^2y^2 + h'(y)
e igualamos a
N(x,y)=1+3x^2y^2+x.
Cancelando x+3x^2y^2 de ambos os lados, vem
h'(y)=1 \quad\Longrightarrow\quad h(y)=y + C_1.

Passo 6

Então o potencial é
\Phi(x,y)=xy + x^2y^3 + y,
e a família geral de curvas é
\Phi(x,y)=C \quad\Longrightarrow\quad xy + x^2y^3 + y=C,
onde C é constante arbitrária.

Resposta

(a) Equação de primeira ordem e não linear.
(b) É exata, pois \partial M/\partial y=\partial N/\partial x=1+6xy^2.
(c) A solução geral é
xy + x^2y^3 + y = C.

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