Considere a equação:
(a) Classifique a equação quanto a ordem e linearidade.
(b) Determine se a equação é exata. Justifique sua resposta.
(c) Encontre a família de soluções da equação dada.
(b) Determine se a equação é exata. Justifique sua resposta.
(c) Encontre a família de soluções da equação dada.
Passo 1
O enunciado nos dá a equação diferencial em forma diferencial exata potencial
com
Pede-se (a) classificação em ordem e linearidade, (b) verificar se é exata, e (c) encontrar a família geral de soluções. Precisaremos de derivadas parciais e, se a equação for exata, de um potencial
tal que
e
.
Passo 2
Classificação: como só aparece
e
em primeira potência, a equação é de primeira ordem. Para ver se é linear em
, escrevemos
e vemos termos como
e
. Logo não é linear (pois em uma equação linear em
só apareceriam
e termos independentes).
Passo 3
Para testar exatidão, calculamos as derivadas parciais
Como
, a equação é exata.
Passo 4
Por exatidão, existe
tal que
Integramos em
:
onde
é função de
a determinar.
Passo 5
Impondo
, calculamos
e igualamos a
Cancelando
de ambos os lados, vem
Passo 6
Então o potencial é
e a família geral de curvas é
onde
é constante arbitrária.
Resposta
(a) Equação de primeira ordem e não linear.
(b) É exata, pois .
(c) A solução geral é
(b) É exata, pois
(c) A solução geral é