Resolva pelo métodos dos coeficientes indeterminados. Escreva a solução geral.
y^{\prime \prime}+2 y^{\prime}+5 y=4 e^{-x} \cos 2 x ; y(0)=1, y^{\prime}(0)=0.
y^{\prime \prime}+2 y^{\prime}+5 y=4 e^{-x} \cos 2 x ; y(0)=1, y^{\prime}(0)=0.
Passo 1
O enunciado pede para resolver a equação diferencial linear de segunda ordem
usando o método dos coeficientes indeterminados e aplicar as condições iniciais
,
. Vamos primeiro achar a solução geral (homogênea
particular) e depois determinar as constantes.
Passo 2
Resolvendo a parte homogênea, escrevemos a equação característica:
As raízes são
Logo a solução geral da homogênea é
Passo 3
Como o termo forçante é
, que coincide com a forma da homogênea, há ressonância de ordem
. Proponho, portanto, para a particular
Passo 4
Calculando
(onde
é o operador diferencial) e agrupando termos em
e
, obtém-se
Para que isso seja igual a
, impomos
Assim
Passo 5
A solução geral da equação completa é
Passo 6
Aplicando
e
:
. Em
,
.
. Calculando
e avaliando em
dá
. Igualando a zero resulta
, ou seja
.