Resolva pelo métodos dos coeficientes indeterminados. Escreva a solução geral.
y^{\prime \prime}+2 y^{\prime}+5 y=4 e^{-x} \cos 2 x ; y(0)=1, y^{\prime}(0)=0.

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial linear de segunda ordem
y'' + 2y' + 5y = 4\,e^{-x}\cos 2x
usando o método dos coeficientes indeterminados e aplicar as condições iniciais y(0)=1, y'(0)=0. Vamos primeiro achar a solução geral (homogênea + particular) e depois determinar as constantes.

Passo 2

Resolvendo a parte homogênea, escrevemos a equação característica:
r^2 + 2r + 5 = 0.
As raízes são
r = -1 \pm 2i.
Logo a solução geral da homogênea é
y_h(x) = e^{-x}\bigl(C_1\cos 2x + C_2\sin 2x\bigr).

Passo 3

Como o termo forçante é 4e^{-x}\cos 2x, que coincide com a forma da homogênea, há ressonância de ordem 1. Proponho, portanto, para a particular
y_p(x) = x\,e^{-x}\bigl(A\cos 2x + B\sin 2x\bigr).

Passo 4

Calculando L[y_p]=y_p''+2y_p'+5y_p (onde L é o operador diferencial) e agrupando termos em e^{-x}\cos2x e e^{-x}\sin2x, obtém-se
L[y_p] = e^{-x}\bigl(4B\cos2x - 4A\sin2x\bigr).
Para que isso seja igual a 4e^{-x}\cos2x, impomos
4B = 4,\quad -4A = 0 \quad\Longrightarrow\quad A = 0,\;B = 1.
Assim
y_p(x) = x\,e^{-x}\sin2x.

Passo 5

A solução geral da equação completa é
y(x) = y_h(x) + y_p(x) = e^{-x}\bigl(C_1\cos2x + C_2\sin2x\bigr) + x\,e^{-x}\sin2x.

Passo 6

Aplicando y(0)=1 e y'(0)=0:
1. Em x=0, y(0)=C_1=1.
2. Calculando y'(x) e avaliando em x=0 y'(0)=2C_2-1. Igualando a zero resulta 2C_2-1=0, ou seja C_2=\tfrac12.

Resposta

\boxed{y(x) = e^{-x}\Bigl(\cos2x + \tfrac12\sin2x\Bigr) + x\,e^{-x}\sin2x.}

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