Esboçe o gráfico das seguintes funçōes.
f(x)=\left(x^{2}-1\right)^{2}

Passo 1

O enunciado pede para esboçar o gráfico da função
f(x) = \bigl(x^2 - 1\bigr)^2.
O conteúdo aqui é análise de funções polinomiais: vamos estudar domínio, simetria, interceptos, derivadas para monotonicidade e concavidade, além do comportamento extremo, e então montar o esboço.

Passo 2

Domínio e simetria. Como f(x) é um polinômio, o domínio é todo o conjunto dos números reais, isto é,
\mathrm{dom}\,f = \mathbb{R}.
Além disso, note que
f(-x) = \bigl((-x)^2 - 1\bigr)^2 = (x^2 - 1)^2 = f(x),
logo a função é par e seu gráfico é simétrico em relação ao eixo y.

Passo 3

Interceptos com os eixos.
  1. Sobre o eixo x: resolver f(x)=0
(x^2 - 1)^2 = 0 \quad\Longrightarrow\quad x^2 - 1 = 0 \quad\Longrightarrow\quad x = \pm 1.
Logo há zeros em (-1,0) e (1,0).
2. Sobre o eixo y: basta calcular f(0):
f(0) = (0^2 - 1)^2 = 1.
Portanto o ponto de intersecção com o eixo y é (0,1).

Passo 4

Derivada primeira e pontos críticos.
f'(x) = 2\,(x^2 - 1)\cdot 2x = 4x\,(x^2 - 1).
Igualando a zero, obtemos os pontos críticos
4x\,(x^2 - 1) = 0 \quad\Longrightarrow\quad x = 0,\;x = \pm 1.

Passo 5

Classificação dos pontos críticos pelo sinal de f''(x). Primeiro a segunda derivada:
f''(x) = \frac{d}{dx}\bigl(4x^3 - 4x\bigr) = 12x^2 - 4.
  1. Em x=0:
f''(0) = -4 < 0 \quad\Longrightarrow\quad\text{máximo local em }(0,1).á
  1. Em x=\pm1:
f''(\pm1) = 12\cdot1 - 4 = 8 > 0 \quad\Longrightarrow\quad\text{mínimos locais em }(-1,0)\text{ e }(1,0).í

Passo 6

Monotonicidade e concavidade.
  • De -\infty a -1, f'(x)<0, a função decresce até o mínimo em (-1,0).
  • De -1 a 0, f'(x)>0, cresce até o máximo em (0,1).
  • De 0 a 1, f'(x)<0, decresce até o mínimo em (1,0).
  • De 1 a +\infty, f'(x)>0, cresce indefinidamente.
    Quanto à concavidade, resolvemos f''(x)=0 em x=\pm\sqrt{\tfrac{1}{3}}, mudando de concavidade nesses pontos.

Passo 7

Comportamento assintótico. À medida que \lvert x\rvert\to\infty, temos
f(x) = x^4 - 2x^2 + 1 \sim x^4 \to +\infty.
Portanto, o gráfico sobe para +\infty nas duas pontas.

Resposta

O esboço tem forma de “W” invertido simétrico:
  • Máximo local em (0,1).
  • Mínimos locais (e zeros) em (-1,0) e (1,0).
  • Cresce para +\infty quando x\to\pm\infty.
  • É par e não apresenta assíntotas além do crescimento quartico.

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