Esboçe o gráfico das seguintes funçōes.
Passo 1
O enunciado pede para esboçar o gráfico da função
O conteúdo aqui é análise de funções polinomiais: vamos estudar domínio, simetria, interceptos, derivadas para monotonicidade e concavidade, além do comportamento extremo, e então montar o esboço.
Passo 2
Domínio e simetria. Como
é um polinômio, o domínio é todo o conjunto dos números reais, isto é,
Além disso, note que
logo a função é par e seu gráfico é simétrico em relação ao eixo
.
Passo 3
Interceptos com os eixos.
- Sobre o eixo
: resolver dá
Logo há zeros em
e
.
2. Sobre o eixo : basta calcular
:
2. Sobre o eixo
Portanto o ponto de intersecção com o eixo
é
.
Passo 4
Derivada primeira e pontos críticos.
Igualando a zero, obtemos os pontos críticos
Passo 5
Classificação dos pontos críticos pelo sinal de
. Primeiro a segunda derivada:
- Em
:
- Em
:
Passo 6
Monotonicidade e concavidade.
- De
a , , a função decresce até o mínimo em . - De
a , , cresce até o máximo em . - De
a , , decresce até o mínimo em . - De
a , , cresce indefinidamente.
Quanto à concavidade, resolvemosem , mudando de concavidade nesses pontos.
Passo 7
Comportamento assintótico. À medida que
, temos
Portanto, o gráfico sobe para
nas duas pontas.
Resposta
O esboço tem forma de “W” invertido simétrico:
- Máximo local em
. - Mínimos locais (e zeros) em
e . - Cresce para
quando . - É par e não apresenta assíntotas além do crescimento quartico.