Esboçe o gráfico das seguintes funçōes.
f(x)=x^{3}-2 x^{2}+x+1

Passo 1

O enunciado pede para esboçarmos o gráfico da função
f(x)=x^{3}-2x^{2}+x+1.
O que vamos precisar é
  1. Encontrar os interceptos com os eixos,
  2. Determinar os pontos críticos (máximos e mínimos locais) via derivada,
  3. Verificar a concavidade e o ponto de inflexão,
  4. Analisar o comportamento para x\to\pm\infty,
    e então montar o esboço.

Passo 2

Intercepto com o eixo y: basta avaliar f(0).
f(0)=0^{3}-2\cdot0^{2}+0+1=1,
logo o ponto (0,1) é o intercepto em y.
Interceptos com o eixo x: resolvemos x^{3}-2x^{2}+x+1=0.
Testando valores inteiros vemos que não há raízes exatas em \pm1.
Usando método de aproximação (ou gráfico rápido), encontra-se uma raiz real em torno de \,x\approx-0,45.

Passo 3

Derivada primeira:
f'(x)=3x^{2}-4x+1.
Para achar pontos críticos, resolvemos
3x^{2}-4x+1=0 \quad\Longrightarrow\quad x=\frac{4\pm\sqrt{16-12}}{6}=\frac{4\pm2}{6},
o que dá
x=\frac{1}{3} \quad\text{e}\quad x=1.
Avaliaremos f'' para classificar:
f''(x)=6x-4.
Em x=\tfrac13, f''(\tfrac13)=6\cdot\tfrac13-4=-2<0, logo há um máximo local em
\bigl(\tfrac13,\;f(\tfrac13)\bigr) \quad\text{com}\quad f\bigl(\tfrac13\bigr) =\tfrac{1}{27}-\tfrac{2}{9}+\tfrac{1}{3}+1\approx1{,}15.
Em x=1, f''(1)=6-4=2>0, logo há um mínimo local em
(1,\;f(1)) \quad\text{com}\quad f(1)=1-2+1+1=1.

Passo 4

Ponto de inflexão vem de f''(x)=0, ou seja
6x-4=0\quad\Longrightarrow\quad x=\tfrac{2}{3}.
O ponto de inflexão é
\Bigl(\tfrac{2}{3},\,f(\tfrac{2}{3})\Bigr) \quad\text{com}\quad f\bigl(\tfrac{2}{3}\bigr) =\tfrac{8}{27}-\tfrac{8}{9}+\tfrac{2}{3}+1\approx1{,}07.
Comportamento nas infinitudes:
\lim_{x\to-\infty}f(x)=-\infty, \quad \lim_{x\to+\infty}f(x)=+\infty.

Passo 5

Agora juntamos tudo no esboço:
– Para x\to-\infty, f(x)\to-\infty.
– Corte em x\approx-0,45.
– Sobe até o máximo local em \bigl(\tfrac13,1{,}15\bigr).
– Desce até o mínimo local em (1,1).
– Passa pelo ponto de inflexão em \bigl(\tfrac23,1{,}07\bigr).
– Depois cresce indefinidamente.

Resposta

O esboço deve mostrar uma curva cúbica que:
(1) entra vindo de baixo à esquerda, corta o eixo x em \approx(-0,45,0),
(2) atinge máximo local em \bigl(\tfrac13,1{,}15\bigr),
(3) desce até o mínimo local em (1,1),
(4) passa pelo ponto de inflexão em \bigl(\tfrac23,1{,}07\bigr),
(5) e segue subindo para +\infty à direita.

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