Resolva pelo métodos dos coeficientes indeterminados. Escreva a solução geral.
y^{\prime \prime}-2 y^{\prime}+y=x e^{x}+4 ; y(0)=1, y^{\prime}(0)=1.
y^{\prime \prime}-2 y^{\prime}+y=x e^{x}+4 ; y(0)=1, y^{\prime}(0)=1.
Passo 1
O enunciado pede a solução geral da equação diferencial
com as condições iniciais
e
.
Este é um problema de equação linear de segunda ordem com coeficientes constantes e termo não homogêneo. Vamos usar o método dos coeficientes indeterminados: primeiro encontramos a solução da equação homogênea e, em seguida, uma solução particular para o termo .
Este é um problema de equação linear de segunda ordem com coeficientes constantes e termo não homogêneo. Vamos usar o método dos coeficientes indeterminados: primeiro encontramos a solução da equação homogênea e, em seguida, uma solução particular para o termo
Passo 2
Para a parte homogênea consideramos
A equação característica é
cuja raiz dupla é
.
Logo a solução geral da homogênea é
Logo a solução geral da homogênea é
Passo 3
Agora buscamos uma solução particular
para o lado direito
. Vamos decompor em duas partes:
- Para
, como e já aparecem em , usamos o ansatz
- Para a constante
, tentamos
onde
,
e
são constantes a determinar.
Passo 4
Cálculo de
e
em
. Defina
, então
Como
temos
Para que isso seja igual a
requer
Logo
Passo 5
Cálculo de
em
. Para
temos
e
, então
Logo
Passo 6
A solução geral da equação completa é
Passo 7
Aplicamos as condições iniciais. Primeiro, em
:
Em seguida, calculamos
Em
:
Resposta
A solução que satisfaz a equação e as condições iniciais é