Resolva pelo métodos dos coeficientes indeterminados. Escreva a solução geral.
y^{\prime \prime}-2 y^{\prime}+y=x e^{x}+4 ; y(0)=1, y^{\prime}(0)=1.

Passo 1

O enunciado pede a solução geral da equação diferencial
y'' - 2y' + y = x e^{x} + 4
com as condições iniciais y(0)=1 e y'(0)=1.
Este é um problema de equação linear de segunda ordem com coeficientes constantes e termo não homogêneo. Vamos usar o método dos coeficientes indeterminados: primeiro encontramos a solução da equação homogênea e, em seguida, uma solução particular para o termo x e^{x}+4.

Passo 2

Para a parte homogênea consideramos
y'' - 2y' + y = 0.
A equação característica é
r^{2} - 2r + 1 = 0 \;\Longrightarrow\;(r - 1)^{2} = 0,
cuja raiz dupla é r=1.
Logo a solução geral da homogênea é
y_{h}(x) = C_{1} e^{x} + C_{2}\,x e^{x}.

Passo 3

Agora buscamos uma solução particular y_{p} para o lado direito x e^{x} + 4. Vamos decompor em duas partes:
  1. Para x e^{x}, como e^{x} e x e^{x} já aparecem em y_{h}, usamos o ansatz
y_{p1}(x) = (A x^{3} + B x^{2})\,e^{x}.
  1. Para a constante 4, tentamos
y_{p2}(x) = D,
onde A, B e D são constantes a determinar.

Passo 4

Cálculo de A e B em y_{p1}. Defina u(x)=A x^{3}+B x^{2}, então
y_{p1} = u\,e^{x},\quad y'_{p1} = (u' + u)\,e^{x},\quad y''_{p1} = (u'' + 2u' + u)\,e^{x}.
Como
u = A x^{3}+B x^{2},\quad u' = 3A x^{2}+2B x,\quad u''=6A x+2B,
temos
y''_{p1}-2y'_{p1}+y_{p1} =[(u''+2u'+u)-2(u'+u)+u]\,e^{x} =(6A x + 2B)\,e^{x}.
Para que isso seja igual a x e^{x} requer
6A x + 2B = x\quad\Longrightarrow\quad 6A=1,\;2B=0\;\Longrightarrow\;A=\tfrac{1}{6},\;B=0.
Logo
y_{p1}(x)=\frac{x^{3}}{6}\,e^{x}.

Passo 5

Cálculo de D em y_{p2}. Para y_{p2}=D temos y'_{p2}=0 e y''_{p2}=0, então
y''_{p2}-2y'_{p2}+y_{p2}=D \overset{!}{=}4 \quad\Longrightarrow\quad D=4.
Logo
y_{p2}(x)=4.

Passo 6

A solução geral da equação completa é
y(x)=y_{h}(x)+y_{p1}(x)+y_{p2}(x) =C_{1}e^{x}+C_{2}x e^{x}+\frac{x^{3}}{6}e^{x}+4.

Passo 7

Aplicamos as condições iniciais. Primeiro, em x=0:
y(0)=C_{1}+0+0+4=1 \quad\Longrightarrow\quad C_{1}=-3.
Em seguida, calculamos
y'(x) =\frac{d}{dx}\bigl[e^{x}(C_{1}+C_{2}x+\tfrac{x^{3}}{6})+4\bigr] =e^{x}\Bigl(C_{1}+C_{2}x+\tfrac{x^{3}}{6}+C_{2}+\tfrac{x^{2}}{2}\Bigr).
Em x=0:
y'(0)=C_{1}+C_{2}=1 \quad\Longrightarrow\quad -3+C_{2}=1 \quad\Longrightarrow\quad C_{2}=4.

Resposta

A solução que satisfaz a equação e as condições iniciais é
\boxed{ y(x) =e^{x}\Bigl(-3 + 4x + \tfrac{x^{3}}{6}\Bigr)+4. }

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