Usando o método de Frobenius obtenha, no caso abaixo, a equação indicial para
, a relação de recorrência e os primeiros coeficientes das respectivas séries:
Passo 1
O enunciado dá a equação diferencial
e pede:
- a equação indicial para
; - a relação de recorrência entre os coeficientes da série de Frobenius;
- os primeiros coeficientes das séries (ou seja,
até alguns termos) para cada solução de Frobenius.
Informações relevantes fornecidas: a equação é singular em
(os coeficientes multiplicam
e
), então a técnica de Frobenius é apropriada. Não há imagens.
Passo 2
Ideia do método de Frobenius (explicação didática rápida): procurar soluções da forma
onde
é um número a determinar (pode ser não inteiro) e
é a constante inicial. Aqui:
- cada
é um coeficiente desconhecido a determinar; -
é o expoente inicial que aparece na equação indicial; - substitui-se
, e na EDO e iguala-se coeficientes de potências de para obter uma relação entre e uma equação para .
Passo 3
Calcular
e
a partir do ansatz e escrever explicitamente (cada expressão em série):
Passo 4
Multiplicar cada termo pelos fatores da EDO e escrever em potências
:
Para somar tudo em potências
ajustamos o termo com
: fazemos a mudança de índice
em
para obter
(Já que
por convenção.)
Logo, somando todos os termos, o coeficiente de
é, para
,
Passo 5
Obter a equação indicial: olhar o coeficiente correspondente à menor potência possível, que é
(i.e. tomar
). O termo com
some, então para
fica
Simplificar a expressão dentro do parêntese:
Portanto a equação indicial é
Resolver essa quadrática:
Logo os dois valores de
são
Comentário útil para prova: como
não é inteiro, as duas soluções de Frobenius com esses
serão linearmente independentes e obtidas diretamente pelo procedimento.
Passo 6
Derivar a relação de recorrência geral: para
o coeficiente de
deve ser zero, logo
Simplificando a expressão entre parênteses:
Portanto a relação de recorrência é
ou isolando
,
Passo 7
Calcular os primeiros coeficientes explicitamente em função de
para cada raiz
. Vamos usar a recorrência para
. Para facilitar, definimos
- Para
temos
Assim
- Para
temos
- Para
temos
Agora substituímos os valores de
e simplificamos numericamente.
Caso
:
-
então
-
então
-
então
Portanto a solução correspondente a
tem expansão
com
Caso
:
- Calcular
: então , ; soma . Logo
-
: , , soma . Então
(Observe que no passo anterior houve cancelamento que simplificou os números.)
-
: , , soma . Então
Portanto a solução correspondente a
tem expansão
com
Comentário final de método: na prova, deixe
gratuito (normalmente
para escrever série normalizada), calcule
pela indicial, depois aplique a recorrência para tantos termos quantos precisar.
Resposta
Equação indicial:
com raízes
e
.
Relação de recorrência:
Primeiros coeficientes (em função de
) para
:
Primeiros coeficientes (em função de
) para
: