Nos itens abaixo, resolva a EDO de 1a ordem dada, utilizando séries de potências. Quando possível, identifique as funções elementares que correspondem a tais séries.
Passo 1
O enunciado pede para resolver a equação diferencial de 1ª ordem
usando séries de potências e, quando possível, identificar funções elementares correspondentes às séries encontradas.
Informações e o que vou encontrar:
- A equação é linear de primeira ordem com coeficiente dependente de
. - Vou procurar uma solução por séries de potências em torno de
, assumindo onde os são coeficientes a determinar. - O objetivo final é obter a solução geral (que deve conter uma constante arbitrária) e, quando possível, reconhecer as séries como funções conhecidas (por exemplo
, funções erro, etc.).
Passo 2
Escrevendo
e
como séries de potências:
Também:
Agora somo
termo a termo para comparar com
.
Passo 3
Igualando potências de
em
obtenho as equações para os coeficientes:
-
Coeficiente de
(termo constante, ): -
Coeficiente de
( ): -
Para
(coeficientes de com ), o lado direito tem coeficiente zero, logo
Essa última relação vale para
, ou seja, para índices
temos
Passo 4
A recorrência liga
com
, então as subséries de índices pares e ímpares são independentes. Vou analisar cada uma.
- Coeficientes ímpares. Como
, para vale
Definindo
com
, obtém-se a fórmula fechada
onde
. Verificação rápida nos primeiros termos:
- Coeficientes pares. O termo livre
fica como constante arbitrária (isso corresponde à constante de integração da solução geral). Para (índices ) a recorrência dá
É útil separar a contribuição em duas partes (linearidade): uma parte proporcional a
(solução do homogêneo) e uma parte “forçada” independente de
. Reescrevendo:
e
é arbitrário (é o coeficiente de
).
Passo 5
Agora escrevo a série completa em duas somas (pares e ímpares) e identifico funções conhecidas.
Parte ímpar (usar
):
Esta série corresponde à parte ímpar da solução particular; pode ser também obtida a partir de uma combinação envolvendo
e a integral
(veja abaixo).
Parte par (usar expressão para
):
A primeira soma é exatamente a expansão de
, porque
A segunda soma (com
) pode ser simplificada usando a soma completa de
:
já que
.
Combinando pares e ímpares, a série solução fica
Agrupando os termos obtém-se
Reescrevendo
, e chamando a constante arbitrária
, temos
onde
é a constante de integração (arbitrária).
Passo 6
Identificação com funções conhecidas. A soma da série ímpar pode ser expressa em termos da função erro imaginária
ou, de forma mais direta, usando a integral
. De fato, a solução geral encontrada por fator integrante é
A integral
não tem primitiva elementar em termos de funções elementares usuais, mas pode ser escrita usando
:
Assim uma forma conveniente da solução geral é
onde
é a constante arbitrária. Se preferir a forma com integral indefinida:
(escolhendo a integral com limite inferior fixo absorve-se a constante dentro de
).
Observação didática curta: a parte
é a solução do homogêneo
(expansão em série de
coincide com os coeficientes pares
), e a soma em potências ímpares mais a constante
corresponde a uma solução particular que pode ser escrita com a integral de
.
Resposta
ou, equivalente,
onde
é constante arbitrária.