Considere a equação linear de diferenças com coeficientes constantes y[n]=0,25 y[n-2]+x[n]. Encontre a solução dessa equação assumindo que x[n]=\delta[n-1] com y[-2]=y[-1]=1.

Passo 1

O enunciado apresenta a equação a diferenças
y[n]=0{,}25\,y[n-2]+x[n]
com x[n]=\delta[n-1] e condições iniciais y[-2]=1, y[-1]=1.
Vamos resolver em três etapas:
  1. calcular y[0] e y[1] usando o impulso;
  2. observar que para n\ge2 vale a equação homogênea y[n]=0{,}25\,y[n-2];
  3. obter a fórmula fechada para termos pares e ímpares de n.

Passo 2

Para n=0 e n=1 inserimos x[n]=\delta[n-1]:
y[0]=0{,}25\,y[-2]+\delta[-1]=0{,}25\cdot1+0=0{,}25,
y[1]=0{,}25\,y[-1]+\delta[0]=0{,}25\cdot1+1=\frac54.

Passo 3

Para n\ge2 o ingresso é zero \delta[n-1]=0, então a recursão fica
y[n]=0{,}25\,y[n-2].
Isso separa a sequência em duas sub-sequências: uma para índices pares e outra para índices ímpares.

Passo 4

Defina n=2m m\ge0 para termos pares:
y[2m]=0{,}25\,y[2m-2] \quad\Longrightarrow\quad y[2m]=(0{,}25)^m\,y[0]=(0{,}25)^m\cdot0{,}25=(0{,}25)^{m+1}.
Defina n=2m+1 m\ge0 para termos ímpares:
y[2m+1]=0{,}25\,y[2m-1] \quad\Longrightarrow\quad y[2m+1]=(0{,}25)^m\,y[1]=(0{,}25)^m\cdot\frac54 =\frac54\,(0{,}25)^m.

Resposta

Para todos os n\ge0:
  • Se n=2m então
y[2m]=(0{,}25)^{m+1}.
  • Se n=2m+1 então
y[2m+1]=\frac54\,(0{,}25)^m.
Além disso, pelos dados iniciais, y[-2]=1 e y[-1]=1.

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