Seja x[n] uma sequência lateral esquerda que é igual a zero para n>0. Se
x(z)=\frac{3 z^{-1}+2 z^{-2}}{3-z^{-1}+z^{-2}}
encontre x[0]. Sugestão: generalize o Teorema do Valor Inicial para sequências laterais esquerdas.

Passo 1

O enunciado dá uma sequência lateral esquerda x[n], isto é, x[n]=0 para n>0, com transformada
X(z)=\frac{3 z^{-1}+2 z^{-2}}{3 - z^{-1} + z^{-2}}.
Queremos encontrar x[0]. Vamos usar uma generalização do Teorema do Valor Inicial para sequências laterais esquerdas.

Passo 2

Para uma sequência lateral esquerda cujo suporte é \{\,n\le0\}, a transformada é
X(z)=\sum_{n=-\infty}^{0} x[n]\,z^{-n}
e, ao fazermos z\to0, os únicos termos que sobrevivem são os de menor potência de z, ou seja, o termo n=0. Logo,
x[0] \;=\;\lim_{z\to0}X(z).

Passo 3

Para calcular \lim_{z\to0}X(z), primeiro escrevemos X(z) sem potências negativas:
X(z) =\frac{3 z^{-1}+2 z^{-2}}{3 - z^{-1} + z^{-2}} =\frac{z^2\bigl(3 z^{-1}+2 z^{-2}\bigr)}{z^2\bigl(3 - z^{-1} + z^{-2}\bigr)} =\frac{3 z + 2}{3 z^2 - z + 1}.

Passo 4

Agora calculamos o limite quando z\to0:
x[0] =\lim_{z\to0} \frac{3 z + 2}{3 z^2 - z + 1} =\frac{2}{1} =2.

Resposta

x[0]=2

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