Suponha que uma seqüência x[n] tenha a transformada z
X(z)=\frac{4-\frac{7}{4} z^{-1}+\frac{1}{4} z^{-2}}{1-\frac{3}{4} z^{-1}+\frac{1}{8} z^{-2}}=\frac{4-\frac{7}{4} z^{-1}+\frac{1}{4} z^{-2}}{\left(1-\frac{1}{2} z^{-1}\right)\left(1-\frac{1}{4} z^{-1}\right)}
com uma ROC |z|>\frac{1}{2}. Encontre a seqüência x[n].

Passo 1

O enunciado nos dá a transformada X(z) de uma sequência causal x[n], pois a ROC é |z|>\tfrac12. Podemos inverter X(z) encontrando primeiro a parte direta (dividindo polinômios em z^{-1}) e depois fazendo frações parciais, já que os polos estão em z=\tfrac12 e z=\tfrac14.

Passo 2

Fazemos divisão polinomial em z^{-1}:
X(z) =\frac{4-\tfrac{7}{4}z^{-1}+\tfrac14 z^{-2}} {1-\tfrac34 z^{-1}+\tfrac18 z^{-2}} =Q+\frac{R(z)}{1-\tfrac12 z^{-1}}\frac{1}{1-\tfrac14 z^{-1}}.
Dividindo passo a passo:
  1. Primeiro quociente 4, resto \tfrac54 z^{-1}-\tfrac14 z^{-2}.
  2. Segundo quociente -2, resto 2-\tfrac14 z^{-1}.
    Logo
X(z)=2+\frac{2-\tfrac14 z^{-1}} {\bigl(1-\tfrac12 z^{-1}\bigr)\bigl(1-\tfrac14 z^{-1}\bigr)}.

Passo 3

Agora expandimos em frações parciais:
\frac{2-\tfrac14 z^{-1}} {\bigl(1-\tfrac12 z^{-1}\bigr)\bigl(1-\tfrac14 z^{-1}\bigr)} =\frac{A}{1-\tfrac12 z^{-1}}+\frac{B}{1-\tfrac14 z^{-1}}.
Multiplicando pelo denominador comum:
2-\tfrac14 z^{-1} =A\Bigl(1-\tfrac14 z^{-1}\Bigr) +B\Bigl(1-\tfrac12 z^{-1}\Bigr).
Comparando coeficientes:
\begin{cases} A+B=2,\\\\ -\bigl(\tfrac A4+\tfrac B2\bigr)=-\tfrac14 \end{cases} \quad\Longrightarrow\quad A=3,\;B=-1.
Assim,
X(z)=2+\frac{3}{1-\tfrac12 z^{-1}}-\frac{1}{1-\tfrac14 z^{-1}}.

Passo 4

Invertemos termo a termo usando \mathcal Z^{-1}\{1/(1-a\,z^{-1})\}=a^n\,u[n] e \mathcal Z^{-1}\{\,\text{const}\}=\delta[n]:
x[n] =2\,\delta[n] +3\Bigl(\tfrac12\Bigr)^{n}u[n] -\Bigl(\tfrac14\Bigr)^{n}u[n].

Resposta

x[n]=2\,\delta[n]+3\bigl(\tfrac12\bigr)^{n}u[n}-\bigl(\tfrac14\bigr)^{n}u[n].

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