A transformada z de uma seqüência x[n] é
X(z)=\frac{z+2 z^{-2}+z^{-3}}{1-3 z^{-4}+z^{-5}} .
Considerando que a região de convergência inclui a circunferência unitária, encontre a TFTD de x[n] em \omega=\pi.

Passo 1

O enunciado dá a transformada Z de uma sequência x[n]:
X(z)=\frac{z+2z^{-2}+z^{-3}}{1-3z^{-4}+z^{-5}},
e pede a transformada de Fourier discreta (TFTD) em \omega=\pi. Como a região de convergência inclui a circunferência unitária, podemos obter a TFTD por
X(e^{j\omega}) = X(z)\big|_{z=e^{j\omega}},
e então avaliar em \omega=\pi.

Passo 2

Substituímos z = e^{j\pi} = -1 em X(z). Temos então
X(e^{j\pi}) =\frac{(-1)+2(-1)^{-2}+(-1)^{-3}}{1-3(-1)^{-4}+(-1)^{-5}}.

Passo 3

Calculamos o numerador:
(-1)+2(-1)^{-2}+(-1)^{-3} =-1 + 2\cdot 1 + (-1) =-1 + 2 -1 =0.

Passo 4

Calculamos o denominador:
1-3(-1)^{-4}+(-1)^{-5} =1 -3\cdot 1 +(-1) =1 -3 -1 =-3.

Passo 5

Portanto,
X(e^{j\pi}) = \frac{0}{-3} = 0.

Resposta

X(e^{j\pi}) = 0

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