Considere as seqüências x[n]=\alpha^{n} u[n] e h[n]=\delta[n]-\alpha \delta(n-1). Calcule Y(z)=X(z) H(z) e defina sua ROC.

Passo 1

O enunciado pede a transformada Y(z) do sinal de saída obtido pela convolução de
x[n]=\alpha^{n}u[n]
com
h[n]=\delta[n]-\alpha\,\delta[n-1]
usando a propriedade de multiplicação no domínio z, e determinar a região de convergência (ROC).

Passo 2

Primeiro, calculamos
X(z)=\sum_{n=0}^{\infty}\alpha^{n}z^{-n}.
Como é uma série geométrica com razão \alpha z^{-1}, resulta
X(z)=\frac{1}{1-\alpha\,z^{-1}},
com ROC dada por
|\alpha\,z^{-1}|<1 \quad\Longrightarrow\quad |z|>|\alpha|.

Passo 3

Em seguida, obtemos
H(z)=\mathcal{Z}\{\delta[n]\}-\alpha\,\mathcal{Z}\{\delta[n-1]\} =1-\alpha\,z^{-1}.
Por ser um polinômio em z^{-1}, sua ROC é todo o plano complexo (nenhuma restrição extra).

Passo 4

Pela propriedade de convolução,
Y(z)=X(z)\,H(z) =\frac{1}{1-\alpha\,z^{-1}}\;\bigl(1-\alpha\,z^{-1}\bigr) =1,
e a ROC de Y(z) é a interseção das ROCs de X(z) e H(z), ou seja
|z|>|\alpha|.

Resposta

Y(z)=1
ROC: |z|>|\alpha|.

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