Determine os valores de a, b e c para os quais a matriz :
[cccc 1 & 1 & 1 & 1 1 & 1+a & 1 & 1 1 & 1 & 1+b & 1 1 & 1 & 1 & 1+c ] é invertível éí

Passo 1

O enunciado pede para determinar os valores de a,b,c tais que a matriz
M = 1 & 1 & 1 & 1 1 & 1+a & 1 & 1 1 & 1 & 1+b & 1 1 & 1 & 1 & 1+c
seja invertível. O conteúdo aqui é cálculo de determinante de uma matriz que é uma atualização de posto-um de uma matriz diagonal.

Passo 2

Observe que podemos escrever
M = D + e,e^T,
onde
D = diag(0,;a,;b,;c), e = 1111
Há uma identidade geral para determinantes de atualizações de posto-um:
det(D + u,v^T) = det(D) + v^T ,adj(D), u

Passo 3

Calculemos primeiro
det(D) = 0cdot acdot bcdot c = 0

Passo 4

Como D é diagonal com elementos d1=0, d2=a, d3=b, d4=c, sua adjunta é também diagonal com entradas
l[adj(D)r]11 = a,b,c, l[adj(D)r]22 = 0cdot bcdot c = 0, l[adj(D)r]33 = 0cdot acdot c = 0, l[adj(D)r]44 = 0cdot acdot b = 0
Portanto,
adj(D) = diag(a b c,;0,;0,;0)

Passo 5

Agora calculemos
det(M) = det(D) + e^T,adj(D),e = 0 + 1&1&1&1 a b c&0&0&00&0&0&00&0&0&00&0&0&0 1111 = a,b,c

Passo 6

Concluímos que
det(M) = a,b,c,
logo M é invertível se, e somente se, det(M)neq0, isto é,
a,b,c neq 0

Resposta

aneq0,;bneq0 e cneq0.

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