Dado o PVI
c (x^2-9) y^prime+x y=0 y(5)=y0
Determine a solução do PVI

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse problema de valor inicial (PVI) juntos! O enunciado que temos é:
c (x^2-9) y^prime+x y=0 y(5)=y0
Aqui, estamos lidando com uma equação diferencial ordinária de primeira ordem. Para resolver esse tipo de equação, vamos precisar usar fatores integrantes e aplicar integração. Então, vamos por partes!

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a equação para deixá-la no formato padrão de uma equação linear de primeira ordem, que é:
y^prime + P(x) y = Q(x)
No nosso caso, temos:
(x^2-9) y^prime + x y = 0
Dividindo ambos os lados por (x^2 - 9), ficamos com:
y^prime + xx^2 - 9 y = 0
Agora, identificamos P(x) = xx^2 - 9 e Q(x) = 0.

Passo 3

Agora, precisamos encontrar o fator integrante ( mu(x)). O fator integrante é dado por:
mu(x) = e^integral P(x) dx
Vamos calcular a integral de P(x):
integral xx^2 - 9 dx
Aqui, fazemos uma substituição simples. Seja u = x^2 - 9, então du = 2x dx, ou seja, x dx = du2.
Substituindo na integral:
integral xx^2 - 9 dx = 12 integral 1u du = 12 ln|u| + C = 12 ln|x^2 - 9| + C
Então, o fator integrante é:
mu(x) = e^12 ln|x^2 - 9| = |x^2 - 9|^1/2 = raizx^2 - 9

Passo 4

Agora, multiplicamos toda a equação diferencial pelo fator integrante mu(x):
raizx^2 - 9 cdot y^prime + raizx^2 - 9 cdot xx^2 - 9 y = 0
Simplificando:
raizx^2 - 9 cdot y^prime + xraizx^2 - 9 y = 0
Perceba que o lado esquerdo da equação agora é a derivada do produto mu(x) y. Ou seja:
ddx ( raizx^2 - 9 cdot y ) = 0

Passo 5

Integrando ambos os lados em relação a x:
integral ddx ( raizx^2 - 9 cdot y ) dx = integral 0 , dx
Isso nos dá:
raizx^2 - 9 cdot y = C
Onde C é a constante de integração.

Passo 6

Agora, resolvemos para y:
y = Craizx^2 - 9

Passo 7

Por fim, usamos a condição inicial para encontrar o valor de C. Sabemos que y(5) = y0, então substituímos x = 5 e y = y0:
y0 = Craiz5^2 - 9 = Craiz25 - 9 = Craiz16 = C4
Multiplicando ambos os lados por 4:
C = 4 y0

Resposta

A solução do PVI é:
y(x) = 4 y0raizx^2 - 9

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