Beleza, vamos resolver esse problema de valor inicial (PVI) juntos! O enunciado que temos é:
c (x^2-9) y^prime+x y=0 y(5)=y0
Aqui, estamos lidando com uma equação diferencial ordinária de primeira ordem. Para resolver esse tipo de equação, vamos precisar usar fatores integrantes e aplicar integração. Então, vamos por partes!
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a equação para deixá-la no formato padrão de uma equação linear de primeira ordem, que é:
y^prime + P(x) y = Q(x)
No nosso caso, temos:
(x^2-9) y^prime + x y = 0
Dividindo ambos os lados por (x^2 - 9), ficamos com:
y^prime + xx^2 - 9 y = 0
Agora, identificamos P(x) = xx^2 - 9 e Q(x) = 0.
Passo 3
Agora, precisamos encontrar o fator integrante (mu(x)). O fator integrante é dado por:
mu(x) = e^integral P(x) dx
Vamos calcular a integral de P(x):
integral xx^2 - 9 dx
Aqui, fazemos uma substituição simples. Seja u = x^2 - 9, então du = 2x dx, ou seja, x dx = du2.
Substituindo na integral:
integral xx^2 - 9 dx = 12 integral 1u du = 12 ln|u| + C = 12 ln|x^2 - 9| + C