Resolva
Passo 1
Beleza, vamos resolver a equação diferencial
. Essa questão está relacionada ao estudo de equações diferenciais de primeira ordem. Para resolver, vamos precisar usar métodos de separação de variáveis e substituição, além de integrar algumas expressões.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a equação para facilitar a manipulação:
Aqui,
significa a derivada de
em relação a
.
Passo 3
Observando a equação, percebemos que ela não é imediatamente separável, mas podemos fazer uma substituição para simplificar. Vamos definir uma nova variável:
Isso ajuda a simplificar o expoente na expressão exponencial.
Passo 4
Agora, derivamos
em relação a
para encontrar
:
Substituímos
pela expressão original:
Passo 5
Agora, a equação ficou mais simples:
Essa é uma equação separável, onde podemos separar
de
para integrar ambos os lados.
Passo 6
Vamos separar as variáveis:
Isso significa que colocamos todas as expressões de
de um lado e as de
do outro.
Passo 7
Agora, integramos ambos os lados:
A integral de
em relação a
é
, e a integral de
é
.
Passo 8
Após integrar, temos:
Onde
é a constante de integração.
Passo 9
Resolvendo para
:
Multiplicando ambos os lados por
:
Passo 10
Lembrando que
, substituímos de volta:
Passo 11
Finalmente, isolamos
para obter a solução geral:
Onde
é uma constante arbitrária.
Resposta
A solução geral da equação diferencial é: