Resolva
y^prime=1+e^y-x+3

Passo 1

Beleza, vamos resolver a equação diferencial y^prime = 1 + e^y - x + 3. Essa questão está relacionada ao estudo de equações diferenciais de primeira ordem. Para resolver, vamos precisar usar métodos de separação de variáveis e substituição, além de integrar algumas expressões.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a equação para facilitar a manipulação:
dydx = 1 + e^y - x + 3
Aqui, y^prime significa a derivada de y em relação a x.

Passo 3

Observando a equação, percebemos que ela não é imediatamente separável, mas podemos fazer uma substituição para simplificar. Vamos definir uma nova variável:
z = y - x + 3
Isso ajuda a simplificar o expoente na expressão exponencial.

Passo 4

Agora, derivamos z em relação a x para encontrar dzdx:
dzdx = dydx - 1
Substituímos dydx pela expressão original:
dzdx = 1 + e^z - 1 = e^z

Passo 5

Agora, a equação ficou mais simples:
dzdx = e^z
Essa é uma equação separável, onde podemos separar z de x para integrar ambos os lados.

Passo 6

Vamos separar as variáveis:
dze^z = dx
Isso significa que colocamos todas as expressões de z de um lado e as de x do outro.

Passo 7

Agora, integramos ambos os lados:
integral e^-z , dz = integral dx
A integral de e^-z em relação a z é -e^-z, e a integral de dx é x.

Passo 8

Após integrar, temos:
- e^-z = x + C
Onde C é a constante de integração.

Passo 9

Resolvendo para e^-z:
e^-z = -x - C
Multiplicando ambos os lados por -1:
e^z = 1-x - C

Passo 10

Lembrando que z = y - x + 3, substituímos de volta:
y - x + 3 = ln(1-x - C) = -ln(-x - C)

Passo 11

Finalmente, isolamos y para obter a solução geral:
y = x - 3 - ln(C - x)
Onde C é uma constante arbitrária.

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
y = x - 3 - ln(C - x)

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