Encontre a equação da elipse obtida transladando a elipse (conforme indicado)
(x-86)^2-(y+43)^2=1
Trasladada para ter seu centro em (-2,-12).

Passo 1

Vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Temos uma equação de uma elipse:
(x-86)^2 - (y+43)^2 = 1
Queremos transladar essa elipse para que seu centro esteja no ponto (-2, -12). Para isso, precisamos usar conceitos de translação de gráficos de funções, que envolvem mover o gráfico de uma função sem alterar sua forma.

Passo 2

Primeiro, identificamos o centro da elipse original. A forma geral da equação de uma elipse centrada em (h, k) é:
(x-ha)^2 + (y-kb)^2 = 1
Comparando com a equação dada:
(x-86)^2 - (y+43)^2 = 1
Perceba que há um sinal de menos entre as frações, o que na verdade indica que a equação dada representa uma hipérbole e não uma elipse. Mas seguiremos com o processo de translação.
O centro atual da hipérbole é (8, -4).

Passo 3

Queremos mover o centro de (8, -4) para (-2, -12). Para isso, precisamos calcular quanto precisamos transladar no eixo x e no eixo y.
Calculamos a diferença:
  • No eixo x: -2 - 8 = -10
  • No eixo y: -12 - (-4) = -8
Isso significa que vamos mover a hipérbole 10 unidades para a esquerda e 8 unidades para baixo.

Passo 4

A translação de uma função envolve substituir x por (x - h) e y por (y - k), onde (h, k) é o deslocamento.
Mas como já identificamos que precisamos mover 10 unidades para a esquerda e 8 para baixo, usamos:
  • Nova coordenada x: x + 10
  • Nova coordenada y: y + 8

Passo 5

Substituímos na equação original:
((x + 10) - 86)^2 - ((y + 8) + 43)^2 = 1
Simplificando as expressões dentro das frações:
(x + 26)^2 - (y + 123)^2 = 1

Resposta

A equação da hipérbole transladada com centro em (-2, -12) é:
(x + 26)^2 - (y + 123)^2 = 1

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