Encontre a equação da elipse obtida transladando a elipse (conforme indicado)
Trasladada para ter seu centro em
.
Passo 1
Vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Temos uma equação de uma elipse:
Queremos transladar essa elipse para que seu centro esteja no ponto
. Para isso, precisamos usar conceitos de translação de gráficos de funções, que envolvem mover o gráfico de uma função sem alterar sua forma.
Passo 2
Primeiro, identificamos o centro da elipse original. A forma geral da equação de uma elipse centrada em
é:
Comparando com a equação dada:
Perceba que há um sinal de menos entre as frações, o que na verdade indica que a equação dada representa uma hipérbole e não uma elipse. Mas seguiremos com o processo de translação.
O centro atual da hipérbole é
.
Passo 3
Queremos mover o centro de
para
. Para isso, precisamos calcular quanto precisamos transladar no eixo
e no eixo
.
Calculamos a diferença:
- No eixo
: - No eixo
:
Isso significa que vamos mover a hipérbole 10 unidades para a esquerda e 8 unidades para baixo.
Passo 4
A translação de uma função envolve substituir
por
e
por
, onde
é o deslocamento.
Mas como já identificamos que precisamos mover 10 unidades para a esquerda e 8 para baixo, usamos:
- Nova coordenada
: - Nova coordenada
:
Passo 5
Substituímos na equação original:
Simplificando as expressões dentro das frações:
Resposta
A equação da hipérbole transladada com centro em
é: