Considere a equação
d yd t+p(t) y=0
Mostre que se y1(t) e y2(t) são soluções da equação, então y(t)=y1(t)+y2(t) também o é. Mostre que se y1(t) e y2(t) são soluções da equação, então y(t)=y1(t)+y2(t) também o é.

Passo 1

O enunciado define a equação de primeira ordem linear homogênea
d yd t+p(t),y=0
e pede para mostrarmos que a soma de duas soluções também satisfaz essa mesma equação.

Passo 2

Como y1(t) e y2(t) são soluções, temos
d y1d t+p(t),y1=0,
d y2d t+p(t),y2=0

Passo 3

Defina y(t)=y1(t)+y2(t). Então sua derivada é
d yd t=d y1d t+d y2d t

Passo 4

Substituindo em d yd t+p(t),y obtemos
d yd t+p(t),y =d y1d t+d y2d t+p(t),(y1+y2)

Passo 5

Agrupando termos, isto é
l(tfracd y1d t+p(t),y1r) +l(tfracd y2d t+p(t),y2r) =0+0=0
Logo, y satisfaz a equação original.

Resposta

y(t)=y1(t)+y2(t) também é solução da equação.

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