Use a Regra da Cadeia para determinar d zd t ou d wd t.
z=arctg(xy), em que x=e^t e y=1-e^-t

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para usar a Regra da Cadeia para encontrar a derivada de z em relação a t . Temos que z = arctan(xy) , onde x = e^t e y = 1 - e^-t . A matéria envolvida aqui é cálculo diferencial, especificamente a derivada de funções compostas usando a Regra da Cadeia.

Passo 2

Primeiro, vamos entender que z é uma função de duas variáveis, x e y , que por sua vez são funções de t . Ou seja, z depende de t através de x e y .

Passo 3

Aplicando a Regra da Cadeia, a derivada de z em relação a t é dada por:
dzdt = partial zpartial x cdot dxdt + partial zpartial y cdot dydt
Aqui, partial zpartial x e partial zpartial y são as derivadas parciais de z em relação a x e y , respectivamente, e dxdt e dydt são as derivadas de x e y em relação a t .

Passo 4

Vamos calcular as derivadas parciais:
  1. Derivada de z em relação a x :
partial zpartial x = 11 + (xy)^2 cdot 1y = yx^2 + y^2
  1. Derivada de z em relação a y :
partial zpartial y = 11 + (xy)^2 cdot (-xy^2) = -xx^2 + y^2

Passo 5

Agora, vamos calcular as derivadas de x e y em relação a t :
dxdt = ddt(e^t) = e^t
dydt = ddt(1 - e^-t) = e^-t

Passo 6

Substituindo as derivadas encontradas na expressão da Regra da Cadeia:
dzdt = (yx^2 + y^2) cdot e^t + (-xx^2 + y^2) cdot e^-t
Simplificando:
dzdt = y cdot e^t - x cdot e^-tx^2 + y^2

Passo 7

Finalmente, substituímos x = e^t e y = 1 - e^-t na expressão:
dzdt = (1 - e^-t) cdot e^t - e^t cdot e^-te^2t + (1 - e^-t)^2
Calculando o numerador e o denominador:
Numerador:
(1 - e^-t)e^t - e^te^-t = e^t - 1 - 1 = e^t - 2
Denominador:
e^2t + (1 - e^-t)^2 = e^2t + 1 - 2e^-t + e^-2t
Então, a expressão final fica:
dzdt = e^t - 2e^2t + 1 - 2e^-t + e^-2t

Resposta

dzdt = e^t - 2e^2t + 1 - 2e^-t + e^-2t

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