Determine o volume do tronco de cone obtido por revolução em torno do eixo x gerado pelo segmento de reta de extremos A(1,2) e B(6,5).

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Precisamos encontrar o volume de um tronco de cone que é formado quando o segmento de reta entre os pontos A(1,2) e B(6,5) é girado em torno do eixo x. Para resolver isso, vamos utilizar a fórmula do volume do tronco de cone.

Passo 2

Um tronco de cone é a parte de um cone que sobra quando uma fatia paralela à base é cortada. Ele possui duas bases circulares de diâmetros diferentes. No nosso caso, essas bases correspondem às posições nos pontos A e B após a rotação.

Passo 3

Vamos identificar os parâmetros necessários para a fórmula:
  • Altura ( h): É a distância entre as coordenadas x dos pontos A e B.
h = 6 - 1 = 5
  • Raio da base menor ( r): É o valor da coordenada y no ponto A.
r = 2
  • Raio da base maior ( R): É o valor da coordenada y no ponto B.
R = 5

Passo 4

A fórmula para o volume ( V) de um tronco de cone é:
V = 13 pi h (R^2 + Rr + r^2)
Onde:
  • h é a altura,
  • R é o raio da base maior,
  • r é o raio da base menor.

Passo 5

Vamos substituir os valores na fórmula:
V = 13 pi times 5 (5^2 + 5 times 2 + 2^2)
Calculando dentro dos parênteses:
5^2 = 25, 5 times 2 = 10, 2^2 = 4
Somando:
25 + 10 + 4 = 39
Continuando:
V = 13 pi times 5 times 39 = 1953 pi = 65,pi

Resposta

O volume do tronco de cone é 65,pi unidades cúbicas.

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