Determine o volume do tronco de cone obtido por revolução em torno do eixo
gerado pelo segmento de reta de extremos
e
.
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Precisamos encontrar o volume de um tronco de cone que é formado quando o segmento de reta entre os pontos
e
é girado em torno do eixo
. Para resolver isso, vamos utilizar a fórmula do volume do tronco de cone.
Passo 2
Um tronco de cone é a parte de um cone que sobra quando uma fatia paralela à base é cortada. Ele possui duas bases circulares de diâmetros diferentes. No nosso caso, essas bases correspondem às posições nos pontos
e
após a rotação.
Passo 3
Vamos identificar os parâmetros necessários para a fórmula:
- Altura (
): É a distância entre as coordenadas dos pontos e .
- Raio da base menor (
): É o valor da coordenada no ponto .
- Raio da base maior (
): É o valor da coordenada no ponto .
Passo 4
A fórmula para o volume (
) de um tronco de cone é:
Onde:
-
é a altura, -
é o raio da base maior, -
é o raio da base menor.
Passo 5
Vamos substituir os valores na fórmula:
Calculando dentro dos parênteses:
Somando:
Continuando:
Resposta
O volume do tronco de cone é
unidades cúbicas.