Considere a equação
Obtenha todas as soluções da forma
que satisfazem as condições
Passo 1
O enunciado pede soluções separáveis da equação do calor
na barra
, sujeitas a
Vamos tomar a abordagem de separação de variáveis, ou seja, buscar soluções da forma
Passo 2
Substituindo
em
obtemos
Dividindo por
(assumindo
) chega-se à igualdade
onde
é uma constante de separação.
Passo 3
Da separação vêm duas EDOs:
com as condições em
:
Para (ii) tomamos a solução geral
A condição
dá
, logo
A segunda condição exige
Isso ocorre se
Passo 4
Para cada
obtemos o autovalor
e o autofunção espacial
Agora resolvemos a EDO temporal (i):
com
constante arbitrária.
Passo 5
Portanto todas as soluções separáveis não-triviais que satisfazem as condições de contorno são, para
,
onde cada
é um parâmetro livre.