Considere a equação
ut=4 ux x
Obtenha todas as soluções da forma F(x) G(t) que satisfazem as condições
u(0, t)=0, ux(pi2, t)=0, t>0

Passo 1

O enunciado pede soluções separáveis da equação do calor
ut=4,uxx
na barra 0<= x<=pi2, sujeitas a
u(0,t)=0, ux!l(tfracpi2,tr)=0
Vamos tomar a abordagem de separação de variáveis, ou seja, buscar soluções da forma
u(x,t)=F(x),G(t)

Passo 2

Substituindo u(x,t)=F(x)G(t) em ut=4uxx obtemos
F(x),G'(t)=4,F''(x),G(t)
Dividindo por 4F(x)G(t) (assumindo F,Gneq0) chega-se à igualdade
G'(t)4,G(t)=F''(x)F(x)=-lambda,
onde lambda é uma constante de separação.

Passo 3

Da separação vêm duas EDOs:
(i) G'(t)+4lambda,G(t)=0, (ii) F''(x)+lambda,F(x)=0,
com as condições em x:
F(0)=0, F'!l(tfracpi2r)=0
Para (ii) tomamos a solução geral
F(x)=Acos(raizlambda,x)+Bsin(raizlambda,x)
A condição F(0)=0 A=0, logo
F(x)=Bsin(raizlambda,x)
A segunda condição exige
F'!l(tfracpi2r) = B,raizlambda;cos!l(raizlambda,tfracpi2r)=0 ;implies; cos!l(raizlambda,tfracpi2r)=0
Isso ocorre se
raizlambda,tfracpi2=(2n+1),tfracpi2, n=0,1,2,dots ;;Longrightarrow;; raizlambda=2n+1, ;; lambda=(2n+1)^2

Passo 4

Para cada lambdan=(2n+1)^2 obtemos o autovalor lambdan e o autofunção espacial
Fn(x)=sinl((2n+1),xr)
Agora resolvemos a EDO temporal (i):
Gn'(t)+4,(2n+1)^2,Gn(t)=0 ;implies; Gn(t)=Cn,e^-4(2n+1)^2,t,
com Cn constante arbitrária.

Passo 5

Portanto todas as soluções separáveis não-triviais que satisfazem as condições de contorno são, para n=0,1,2,dots,
un(x,t) = Cn, sinl((2n+1),xr), e^-4,(2n+1)^2,t,
onde cada Cn é um parâmetro livre.

Resposta

un(x,t) = Cn, sinl((2n+1),xr), e^-4,(2n+1)^2,t, n=0,1,2,dots

Exercícios relacionados