Uma corda elástica finita tem suas extremidades livres para se mover na direção vertical, mantidas a uma separação horizontal de pi unidades de comprimento. A corda parte do repouso (velocidade inicial nula) e sua posição inicial é descrita pela função x-pi2. Se a velocidade do movimento ondulatório realizado pela corda é numericamente igual a 3 , determine a posição da corda no instante t.

Passo 1

O enunciado descreve o problema da equação da onda unidimensional
utt = c^2,uxx, 0<= x<= pi,;t>0
com velocidade de propagação c=3. As condições de contorno são de extremidades livres (Neumann):
ux(0,t)=0, ux(pi,t)=0,
e as condições iniciais são
u(x,0)=x-pi2, ut(x,0)=0
Vamos usar separação de variáveis e série de Fourier em cossenos para resolver.

Passo 2

Para contorno Neumann os autofuncionais são
phin(x)=cos(nx), n=0,1,2,dots
com autovalores lambdan=n^2 e frequências naturais
omegan=c,n=3n. A solução geral que respeita ut(x,0)=0 é
u(x,t) =a02 +sumn=1^infty ancos(3n t),cos(nx),
onde
an=2piintegral0^pil(x-tfracpi2r)cos(nx),dx (n>=1),
e a0=(2/pi)integral0^pi(x-pi/2),dx=0.

Passo 3

Calculemos an para n>=1. Por integração por partes:
integral0^pixcos(nx),dx =l[x,sin(nx)n+cos(nx)n^2r]0^pi =(-1)^n-1n^2,
e
integral0^pipi2cos(nx),dx=0.
Logo
an =2pi,(-1)^n-1n^2

Passo 4

Observe que (-1)^n-1=0 se n é par e (-1)^n-1=-2 se n é ímpar.
Para n=2k+1 temos
a2k+1 =2pi,-2(2k+1)^2 =-4pi,(2k+1)^2,
e a2k=0.

Passo 5

Substituindo na solução, só restam termos ímpares:
u(x,t) =sumk=0^infty l(-4pi,(2k+1)^2r) cosl(3(2k+1),tr), cosl((2k+1),xr)

Resposta

boxed u(x,t) =-4pi sumk=0^infty 1(2k+1)^2 cosl(3(2k+1),tr), cosl((2k+1),xr)

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