Uma corda elástica finita tem suas extremidades livres para se mover na direção vertical, mantidas a uma separação horizontal de
unidades de comprimento. A corda parte do repouso (velocidade inicial nula) e sua posição inicial é descrita pela função
. Se a velocidade do movimento ondulatório realizado pela corda é numericamente igual a 3 , determine a posição da corda no instante
.
Passo 1
O enunciado descreve o problema da equação da onda unidimensional
com velocidade de propagação
. As condições de contorno são de extremidades livres (Neumann):
e as condições iniciais são
Vamos usar separação de variáveis e série de Fourier em cossenos para resolver.
Passo 2
Para contorno Neumann os autofuncionais são
com autovalores
e frequências naturais
. A solução geral que respeita
é
onde
e
.
Passo 3
Calculemos
para
. Por integração por partes:
e
.
Logo
Logo
Passo 4
Observe que
se
é par e
se
é ímpar.
Para temos
Para
e
.
Passo 5
Substituindo na solução, só restam termos ímpares: