Determine a série de Fourier da função
definida no intervalo
por
e estendida de maneira
2 pi -periódica.
Use o resultado para determinar o valor da soma da série
sump=0^infty 1(2 p+1)^2=1+13^2+15^2+ldots
Use o resultado para determinar o valor da soma da série
Passo 1
O enunciado pede a série de Fourier de
e depois usar esse desenvolvimento para encontrar
da expansão
da expansão
Passo 2
Calculamos primeiro
Passo 3
Para
an temos
Integrando por partes com
u=x+pi ,
dv=cos(nx),dx , obtemos
Passo 4
Para
bn avaliamos
Também por partes vem
Passo 5
A série de Fourier de
f é
Passo 6
No ponto
x=0 há descontinuidade (valores
f(0^-)=pi ,
f(0^+)=0 ), e a série converge à média
tfracpi+02=tfracpi2 . Substituindo
x=0 em
f(0)=pi4+sump=0^infty2pi(2p+1)^2
e igualando atfracpi2 dá
e igualando a
Resposta
A série de Fourier é
e