Determine a série de Fourier da função f definida no intervalo [-pi, pi) por
f(x)=lr x+pi, & -pi <= x <= 0 0, & 0<x<pi
e estendida de maneira 2 pi-periódica.
Use o resultado para determinar o valor da soma da série
sump=0^infty 1(2 p+1)^2=1+13^2+15^2+ldots

Passo 1

O enunciado pede a série de Fourier de
e depois usar esse desenvolvimento para encontrar
da expansão

Passo 2

Calculamos primeiro
a0=1piintegral-pi^pif(x),dx =1piintegral-pi^0(x+pi),dx =1pil[x^22+pi xr]-,pi^0 =1picdotpi^22 =pi2

Passo 3

Para an temos
an=1piintegral-pi^pif(x)cos(nx),dx =1piintegral-pi^0(x+pi)cos(nx),dx
Integrando por partes com u=x+pi, dv=cos(nx),dx, obtemos
an =1pi n^2l[1-(-1)^nr] = 2pi n^2,&n ímpar, 0,&n par í

Passo 4

Para bn avaliamos
bn=1piintegral-pi^0(x+pi)sin(nx),dx
Também por partes vem
bn=-1ncdot1pil[(x+pi)cos(nx)r]-,pi^0 =-1n

Passo 5

A série de Fourier de f é
f(x) =pi4 +sump=0^infty2pi(2p+1)^2cosl((2p+1)xr) -sumn=1^infty1nsin(nx)

Passo 6

No ponto x=0 há descontinuidade (valores f(0^-)=pi, f(0^+)=0), e a série converge à média tfracpi+02=tfracpi2. Substituindo x=0 em
f(0)=pi4+sump=0^infty2pi(2p+1)^2
e igualando a tfracpi2
pi2 =pi4+2pisump=0^infty1(2p+1)^2 Longrightarrow sump=0^infty1(2p+1)^2 =pi^28

Resposta

A série de Fourier é
f(x) =pi4 +sump=0^infty2pi(2p+1)^2cosl((2p+1)xr) -sumn=1^infty1nsin(nx),
e
sump=0^infty1(2p+1)^2 =pi^28

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