Considere a equação da onda sujeita às condições indicadas:
partial^2 upartial x^2=partial^2 upartial t^2
com
i) u(0, t)=0;
ii) u(pi, t)=0;
iii) u(x, 0)=0;
iv) partial^2 upartial t partial x|t=0=cos x.
Aplicando o método de separação de variáveis obtemos as seguintes equações
X^primeprimeX=T^primeprimeT=-lambda^2
Mostre que no caso em que a constante de separação é zero, a solução é trivial.

Passo 1

O enunciado pede para mostrarmos que, no caso em que a constante de separação é zero ( lambda=0), a solução por separação de variáveis da equação da onda
partial^2upartial x^2=partial^2upartial t^2
com as condições de contorno
u(0,t)=0, u(pi,t)=0
e condições iniciais
u(x,0)=0, partial^2upartial tpartial x|t=0=cos x
é trivial (isto é, uequiv0). Vamos usar o método de separação u(x,t)=X(x),T(t).

Passo 2

Para lambda=0 as equações de separação ficam
X''(x)=0, T''(t)=0
Integrando cada uma obtemos as soluções gerais
X(x)=A,x+B, T(t)=C,t+D,
onde A,B,C,D são constantes a determinar.

Passo 3

As condições de contorno em x exigem
u(0,t)=X(0),T(t)=0forall t Longrightarrow X(0)=B=0,
u(pi,t)=X(pi),T(t)=0forall t Longrightarrow X(pi)=A,pi=0 Longrightarrow A=0
Logo X(x)equiv0.

Passo 4

Com X(x)equiv0 segue que
u(x,t)=X(x),T(t)equiv0
independentemente de T(t). Essa é a única solução que satisfaz as condições de contorno quando lambda=0. Além disso, ela não consegue reproduzir a condição inicial utx(x,0)=cos x, confirmando que não há modo não trivial para lambda=0.

Resposta

A solução associada a lambda=0 é trivial:
u(x,t)equiv0

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