Considere a equação da onda sujeita às condições indicadas:
com
i) ;
ii) ;
iii) ;
iv) .
Aplicando o método de separação de variáveis obtemos as seguintes equações
X^primeprimeX=T^primeprimeT=-lambda^2
Mostre que no caso em que a constante de separação é zero, a solução é trivial.
Passo 1
O enunciado pede para mostrarmos que, no caso em que a constante de separação é zero (lambda=0), a solução por separação de variáveis da equação da onda
partial^2upartial x^2=partial^2upartial t^2
com as condições de contorno
u(0,t)=0, u(pi,t)=0
e condições iniciais
u(x,0)=0, partial^2upartial tpartial x|t=0=cos x
é trivial (isto é, uequiv0). Vamos usar o método de separação u(x,t)=X(x),T(t).
Passo 2
Para lambda=0 as equações de separação ficam
X''(x)=0, T''(t)=0
Integrando cada uma obtemos as soluções gerais
X(x)=A,x+B, T(t)=C,t+D,
onde A,B,C,D são constantes a determinar.
Passo 3
As condições de contorno em x exigem
u(0,t)=X(0),T(t)=0forall t Longrightarrow X(0)=B=0,
u(pi,t)=X(pi),T(t)=0forall t Longrightarrow X(pi)=A,pi=0 Longrightarrow A=0
Logo X(x)equiv0.
Passo 4
Com X(x)equiv0 segue que
u(x,t)=X(x),T(t)equiv0
independentemente de T(t). Essa é a única solução que satisfaz as condições de contorno quando lambda=0. Além disso, ela não consegue reproduzir a condição inicial utx(x,0)=cos x, confirmando que não há modo não trivial para lambda=0.