Utilize a separação de variáveis para achar, se possível, todas as soluções em forma de produto para a equação:
partial^2 upartial x^2+partial^2 upartial y^2=0

Passo 1

O enunciado pede para encontrar, por separação de variáveis, todas as soluções da equação de Laplace em duas dimensões
partial^2upartial x^2 + partial^2upartial y^2 = 0
assumindo soluções na forma de produto u(x,y)=X(x),Y(y). Para isso precisamos substituir essa hipótese na PDE, separar as variáveis e resolver duas equações ordinárias.

Passo 2

Assumindo
u(x,y)=X(x),Y(y),
temos
partial^2upartial x^2 = X''(x),Y(y),
partial^2upartial y^2 = X(x),Y''(y)
Logo a PDE vira
X''(x),Y(y) + X(x),Y''(y) = 0
Dividindo por X(x),Y(y) (supondo Xneq0 e Yneq0) obtemos
X''(x)X(x) + Y''(y)Y(y) = 0

Passo 3

Como o primeiro termo depende só de x e o segundo só de y, cada um deve ser igual a uma constante oposta. Introduzimos a constante de separação lambda:
X''(x)X(x) = lambda, Y''(y)Y(y) = -lambda
Isso gera duas EDOs independentes:
X''(x) - lambda,X(x)=0, Y''(y) + lambda,Y(y)=0

Passo 4

Agora examinamos três casos para lambda: positivo, negativo ou zero. Cada caso dá um tipo diferente de solução para X e Y.

Passo 5

Caso lambda = k^2>0. As EDOs são
X'' - k^2X = 0, Y'' + k^2Y = 0
A solução geral é
X(x) = A,e^k x + B,e^-k x,
Y(y) = Ccos(k y) + Dsin(k y)
Portanto
u(x,y) = l(A,e^k x + B,e^-k xr)l(Ccos(k y) + Dsin(k y)r)

Passo 6

Caso lambda = -mu^2<0. Reescrevendo lambda=-mu^2 com mu>0, as EDOs viram
X'' + mu^2X = 0, Y'' - mu^2Y = 0
A solução geral é
X(x) = Acos(mu x) + Bsin(mu x),
Y(y) = C,e^mu y + D,e^-mu y
Logo
u(x,y) = l(Acos(mu x) + Bsin(mu x)r)l(C,e^mu y + D,e^-mu yr)

Passo 7

Caso lambda = 0. As EDOs ficam
X'' = 0, Y'' = 0,
cuja solução geral é
X(x) = A,x + B, Y(y) = C,y + D
Assim
u(x,y) = (A,x + B),(C,y + D)

Resposta

As soluções em forma de produto são, para constantes arbitrárias A,B,C,D e parâmetros positivos k,mu:
u(x,y) = l(A,e^k x + B,e^-k xr)l(Ccos(k y) + Dsin(k y)r),
u(x,y) = l(Acos(mu x) + Bsin(mu x)r)l(C,e^mu y + D,e^-mu yr),
u(x,y) = (A,x + B),(C,y + D)

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