Utilize a separação de variáveis para achar, se possível, todas as soluções em forma de produto para a equação:
Passo 1
O enunciado pede para encontrar, por separação de variáveis, todas as soluções da equação de Laplace em duas dimensões
assumindo soluções na forma de produto
. Para isso precisamos substituir essa hipótese na PDE, separar as variáveis e resolver duas equações ordinárias.
Passo 2
Assumindo
temos
Logo a PDE vira
Dividindo por
(supondo
e
) obtemos
Passo 3
Como o primeiro termo depende só de
e o segundo só de
, cada um deve ser igual a uma constante oposta. Introduzimos a constante de separação
:
Isso gera duas EDOs independentes:
Passo 4
Agora examinamos três casos para
: positivo, negativo ou zero. Cada caso dá um tipo diferente de solução para
e
.
Passo 5
Caso
. As EDOs são
A solução geral é
Portanto
Passo 6
Caso
. Reescrevendo
com
, as EDOs viram
A solução geral é
Logo
Passo 7
Caso
. As EDOs ficam
cuja solução geral é
Assim
Resposta
As soluções em forma de produto são, para constantes arbitrárias
e parâmetros positivos
: